Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Ân Thi (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Ân Thi (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI_HƯNG YÊN Năm học 2013-2014 – Môn: TOÁN 8 Bài 1. (2,0đ) Giải các phương trình sau : x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 2. (2,0đ) a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác a b c Chứng minh rằng A 3 b c a a c b a b c x y z a b c b) Cho 1 và 0 a b c x y z x2 y2 z2 Chứng minh rằng: 1 a2 b2 c2 Bài 3 (1,0đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó Bài 4 (3,0 đ) Cho ABC vuông tại A AC AB , đường cao AH H BC . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đonạ BE theo m AB 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh BC AH HC Bài 5 (1,0đ) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Bài 6 (1,0 đ) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HƯNG YÊN 2013-2014 Bài 1.
2. x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 86 84 82 x 300 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Ta có: x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 . x 5 ; x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4 ; x 5 ; x 6 ; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x 7) 18(x 4) x 4 x 7 x 13(t / m) x 13 x 2 0 x 2(t / m) S 13;2 Bài 2. Đặt b c a x 0 ;c a b y 0 ; a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ; b ; c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A . 2 2 2 hay A 3 2 a b c ayz bxz cxy b) Từ 0 0 ayz bxz cxy 0 x y z xyz 2 x y z x y z Ta có: 1 1 a b c a b c
3. x2 y2 z2 xy xz yz 2 2 2 2. 1 a b c ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2. 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dpcm) a2 b2 c2 Bài 3. Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x + 11. Phân x số cần tìm là (x 11) x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số ( x 15) x 15 x x 15 Theo bài ta có phương trình x 5(t / m) x 11 x 7 5 Vậy phân số cần tìm là 6 Bài 4. A E M C D G B H
4. 1. Hai tam giác ADC và BEC có : góc C chung; CD CA (hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) CE CB Do đó, chúng đồng dạng (cgc) Suy ra B· EC ·ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân theo giả thiết) Nên ·AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. suy ra BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD 2. Ta có: . . (do BEC : ADC) mà AD AH 2 (tam giác AHD BC 2 BC 2 AC vuông cân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH Nên . . (do ABH : CBA) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó: BHM : BEC (c.g.c) , suy ra B· HM B· EC 1350 ·AHM 450 3. Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác B· AC GB AB AB ED AH HD Suy ra , mà ABC : DEC (ED / / AH ) GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó : GC HC GB GC HD HC BC AH HC Bài 5 2 2010x 2680 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 A 335 335 x2 1 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3 Bài 6. Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương) Ta có : xy 2(x y z) (1) và x2 y2 z2 (2) Từ (2) suy ra z2 x y 2 2xy, thay (1) vào ta có : z2 x y 2 2xy, thay (1) vào ta có: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4(x y) z2 4x 4 x y 2 4(x y) 4 z 2 2 x y 2 2 z 2 x y 2 z x y 4 , thay vào (1) ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 . y 4 8 1.8 2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là : x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 