Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Phan Đình Phùng (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Phan Đình Phùng (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 8 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm). x 3 1 x 3 1 x 1( x 2) 2 Cho biểu thức P = x x : x 1 x 1 x 2 2 a) Tìm tập xác định của P rồi rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị là số nguyên. Bài 2 (2,5 điểm). a) Cho biểu thức M = 2 . x 2 2x 3 Với giá trị nào của x thì M có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó ? b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó ? Bài 3 (2,5 điểm). a) Cho a 1 và b 1. Chứng minh: 1 1 2 . 1 a 2 1 b 2 1 ab Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? b) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 2 m 3m 4m 3 1 x m m 2 x 2 x m Bài 4 (3,0 điểm). Cho ABC vuông ở A, có B = 200. Vẽ phân giác BI của ABC (I AC) và lấy điểm H AB sao cho ACH = 300: a) Chứng minh BI2 < AB . BC ? b) Vẽ CK là phân giác của HCB, chứng minh CK // IH ? c) Tính số đo của CHI ? Hết
2. PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 8 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 Bài 1 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Tập xác định x 1; x - 1 và x 2 0,25đ 2 + Rút gọn P = x 2 0,75đ x b) 1,0 điểm + Viết P = x - 2 0,25đ x + Để P có giá trị nguyên thì x là ước của 2 x = 1 ( loại ) 0,25đ x = 2 ( nhận ) 0,25đ + Từ đó các giá trị nguyên của P là 1 và - 1 0,25đ Bài 2 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Viết M = 2 0,25đ (x )1 2 2 + Vì (x + 1)2 0 với mọi x (x + 1)2 + 2 2 với mọi x 0,25đ 2 + Có M 1 nên M có giá trị lớn nhất là M = 1 0,25đ 2 + Dấu “ = ” xảy ra khi x = -1 0,25đ b) 1,5 điểm Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + 7 (m), điều kiện x > 0 0,25đ Theo định lý Pi-ta-go thì x2 + ( x + 7 )2 = 132 0,25đ x2 + x2 + 14x + 49 = 169 2x2 + 14x - 120 = 0 (x + 12)(2x - 10) = 0 Vậy x = -12 ( loại ) hoặc x = 5 ( nhận ) 0,5đ Tính được diện tích của hình chữ nhật S = 60m2 0,5đ Bài 3 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Chuyển vế và tách - 2 = - 1 1 0,25đ 1 ab 1 ab 1 ab + Nhóm, quy đồng mẫu của từng nhóm và thực hiện đúng phép cộng 0,25đ 2 + Đặt nhân tử chung trên tử thức để có: (b a)(ab )1 0,25đ 1( a 2 )(1 b 2 )(1 ab) + Vì a 1 và b 1 nên phân thức trên 0 ; từ đó suy ra điều cần c/m 0,25 đ
3. b) 1,5 điểm + ĐKXĐ: x m 0,25đ + Quy đồng và khử mẫu 2 vế, đưa về PT ( m - 1 ).x = ( m - 1 )( 2m - 3 ) 0,25đ + Với m 1 ta có x = 2m -3 0,25đ + Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - 3 m m 3 và 2m - 3 - m m 1 0,25đ Vậy khi m 1 và m 3 thì PT đã cho có 1 nghiệm x = 2m - 3 0,25đ + Với m = 1, PT có dạng 0.x = 0 mọi số thực x 1 đều là nghiệm của PT 0,25đ Bài 4 ( 3,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) B + Có BIC > A Vẽ BIN = A ( N BC ) 0,25đ ABI ∽ IBN ( g-g ) 0,25đ AB/ BI = BI/ BN BI2 = AB.BN 0,25đ M + Có BN < BC nên BI2 < AB.BC 0.25đ K b) 1,5 điểm + Tính được HCB = 400 HCK = BCK = 200 0,25đ H N + Tam giác vuông AHC có ACH = 300 AH = CH/2 (1) + Vì CK là phân giác HCB nên kết hợp với (1) A I C AH 1 CH 1 BC 0,25đ (2) HK 2 HK 2 BK + Vẽ KM  BC tại M thì BMK ∽ BAC ( g-g ) BC AB BK BM BC AB 0,25đ 2BK 2BM Kết hợp với (2) BC AB AH (3) ; vì BI là phân giác ABC nên IA AB (4) .0,25đ 2BK BC HK IC BC + Từ (3) & (4) IA AH HI // CK 0,25đ IC HK c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 200 ( 2 góc so le trong ) 0,5đ Chú ý: HS có thể giải theo cách khác (không vượt quá chương trình toán 8) đúng vẫn cho điểm tối đa Hết