Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD&ĐT KÌ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: TOÁN NĂM 2009-2010  Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2.0 điểm). Cho biểu thức: a 1 a 1 1 P 4 a a . a 1 a 1 a a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P tại a 2 3 3 1 2 3 . Câu 2 (1.5 điểm).Giải phương trình: x 2 x 1 x 1 1. Câu 3 (2.5 điểm). Cho x, y là các số dương. x y a) Chứng minh: 2. y x x y xy b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M . y x x2 y2 Câu 4 (3.0 điểm). Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của I·AM cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh HF  BI . c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R? Câu 5 (1.0 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 . Hết *Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
2. PHÒNG GD&ĐT KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: TOÁN ĐÁP ÁN, CÂU NỘI DUNG ĐIỂM a 0 a 0 Điều kiện a 1 a 1 a 0 0.25 2 2 a a 1 a 1 4 a a 1 a 1 P . 0.25 a 1 a 4 a 4 a a 1 4 a(1 a 1) 4a 0.25 1 a a Vậy P 4a 0.25 a 2 3 2 3 2 3 . 3 1 0.25 2 b 2 3 . 3 1 2 3 3 1 2 3 4 2 3 0.25 2 2 3 2 3 2 . 0.25 Vậy a 2 do đó P 4a 4 2 0.25 Điều kiện x 1 0.25 2 x 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 (1) 0.5 2 Khi x 1 1 x 1 1 x 2 : Ta có (1) x 1 1 x 1 1. Phương trình vô nghiệm 0.25 Khi 0 x 1 1 0 x 1 1 1 x 2: Ta có 1 (1) 1 x 1 x 1 1 2 x 1 0 x 1 0.25 Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho. 0.25 x y Vì x > 0, y > 0 nên 0 và 0 y x 0.25 3 a Áp dụng bất đẳng thức a b 2 ab dấu "=" xảy ra a b 0.25 x y x y ta có 2 . 2 0.25 y x y x
3. x y Vậy 2. y x 0.25 x y Dấu "=" xảy ra x2 y2 x y (vì x > 0, y > 0) y x 0.25 x y 1 3a a 1 Đặt a , ta có M a y x a 4 4 a 0.25 x y 3a 3 Vì a 2 nên ; y x 4 2 0.25 a 1 a 1 1 b Ta có 2 . 2. 1 4 a 4 a 2 0.25 1 3a a 1 3 5 5 Do đó M a 1 ; M a 2 x y 0.25 a 4 4 a 2 2 2 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi và chỉ khi x y . 0.25 2 Hình vẽ x I F M H E K A O B Ta có M, E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB nên a F· MK 900 và F· EK 900 . 0.5 Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK 0.25 Ta có HAK cân tại A nên AH = AK (1) 0.25 K là trực tâm của AFB nên ta có FK  AB suy ra FK // AH (2) 0.25 · · · · · · 0.25 b Do đó FAH AFK mà FAH FAK (gt) cho nên AFK FAK Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) 0.25 Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK. Mà AK  IB suy ra HF  IB . 0.25 Chu vi của AMB C AMB MA MB AB lớn nhất khi chỉ khi MA + MB lớn nhất (vì AB không đổi). 0.25 Áp dụng bất đẳng thức a b 2 2 a2 b2 dấu "=" xảy ra c a b, ta có MA MB 2 2(MA2 MB2 ) 2AB2 0.25 Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB. 0.25
4. Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì C AMB đạt giá trị lớn nhất. Khi đó 0.25 C AMB MA MB AB AB 2 AB (1 2)AB 2R(1 2) Đặt A 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 , ta có 2x.A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên 2x.A chia hết cho 5. Nhưng 2x không chia hết 0.25 cho 5, do đó A chia hết cho 5. Nếu y 1, ta có 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y chia hết cho 5 mà 11879 không chia hết cho 5 nên y 1 không thỏa mãn, suy ra y = 0. 5 0.25 Khi đó , ta có 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 1 11879 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 11880 0.25 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 9.10.11.12 x 3. 0.25 Vậy x 3; y 0 là hai giá trị cần tìm.