Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Cần Thơ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Cần Thơ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THÀNH PHỐ CẦN THƠ CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày: 11/04/2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian phát đề Câu 1 (5,0 điểm) 2m 16m 6 m 2 3 1. Cho biểu thức P 2 m 2 m 3 m 1 m 3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên 2013 2. Tính giá trị a3 15a 25 với a 3 13 7 6 3 13 7 6 Câu 2. (5,0 điểm) 1. Giải phương trình: x 5 3 x 2 15 2x x2 1 0 2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm 2x2 mx 1 0 2 mx x 2 0 Câu 3. (5,0 điểm) 1 1 1 1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa 2 x y z x y 2 2. Cho hai số x, y thỏa mãn 2 2 x y xy 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x2 y2 xy Câu 4. (2,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn để MA + 2 MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A. 1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống PB, PC. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định 2. Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên đường tròn (O;R) sao cho diện tích tam giác ABC luôn bằng a2
2. ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 CẦN THƠ 2012-2013 Câu 1. 1. a) Điều kiện : m 0;m 1 m 1 P m 1 2 b) P 1 m 1 Để P ¥ m 4;9 2. a 3 13 7 6 3 13 7 6 a3 26 15a 2013 a3 15a 25 1 a3 15a 25 1 Câu 2. 1. Điều kiện : 5 x 3 Đặt t = x 5 3 x,t2 8 2 15 2x x2 t 2 2 2 t 3 Phương trình đã cho có dạng : t t 6 0 t 2(loai) t 3 x 5 3 x 3 2 3 7 x 2 2 4x 8x 59 0 2 3 7 x 2 2 mx 2y 1 2. Đặt x y 0. Hệ trở thành x my 2 m 4 x m2 2 Hệ luôn có nghiệm 1 2m 1 y 0(m ) m2 2 2 2 2 m 4 1 2m 2 Ta có x y 2 2 (m 1)(m m 7) 0 m 1 m 2 m 2 Câu 3 1. Không mất tính tổng quát , giả sử : 1 x y z
3. 1 1 1 3 2 x 1 x y z x y 1 (vô lý) 1 1 2 1 y z y Và y = 2 suy ra z = 2. Vậy (1;2;2) và các hoán vị của chúng là nghiệm của phương trình đã cho x y 2 x y 2 a (a 0) 2. Hệ 2 2 2 2 x y xy 3 x y xy 3 x y 2 a 2 Do đó 2 ; S 4P 0 0 a 4 xy 2 a 3 2 T x2 y2 xy 2xy 9 2 2 a Min T= 1 khi x=1; y=1 hoặc x= - 1 , y = - 1 Max T = 9 khi x 3,y 3 hoặc x 3,y 3 Câu 4 B M' M O A C R Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho OC , ta có điểm C cố định 2 Dễ thấy OCM đồng dạng với OMA MA 2MC Ta có MA MB BC (không đổi) MA 2MB 2(MA MC) 2BC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa B và C Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất
4. Câu 5. A E D N O C I B M A' P 1. Kẻ AI  BC , I BC cố định. Ta có B· MA B· IA 900 nên tứ giác AMBI nội tiếp hay A· IM A· BM Ta lại có tứ giác ABPC nội tiếp nên A· BM A· CP do đó A· IM A· CP (1) Mặt khác A· IC A· NC 900 nên tứ giác AINC nội tiếp suy ra A· CP A· IN 1800 (2) Từ (1) và (2) suy ra A· IM A· IN 1800 Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I 2. Tứ giác BCDE nội tiếp suy ra A· ED A· CB Kéo dài AO cắt (O;R) tại điểm A’. Ta có: E· AO A· ED B· AA' A· CB 900 1 1 AO  DE S AO.DE R.DE AEOD 2 2 1 1 Tương tự ta cũng có S .R.EI ;S R.ID BEOI 2 CDOI 2 1 Vậy S S S S R. DE EI ID ABC AEOD BIOE CDOI 2
5. 2S 2a2 DE EI ID ABC (không đổi) R R