Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Đồng Nai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Đồng Nai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 04/4/2014 Câu 1. (4 điểm) Tìm các số thực x thỏa x4 2x3 x2 2x 1 0 Câu 2. (4 điểm) x3 2y 1 Giải hệ phương trình: 3 y 2x 1 Câu 3. (4 điểm) m2 2 n Cho m và n là hai số nguyên dương lẻ thỏa 2 n 2 m 1) Hãy tìm một cặp gồm hai số nguyên dương lẻ m;n thỏa các điều kiện đã cho với m 1 và n 1 2) Chứng minh m2 n2 2 4mn Câu 4. (4 điểm) 1) Tính số các ước dương của số 1000 2) Tính số các ước dương chẵn của số 1000 Câu 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc C· AB, ·ABC, B· CA đều là góc nhọn. Gọi (O) là đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng OB và DE, gọi N là giao điểm của hai đường thẳng OC và DE. Chứng minh bốn điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn.
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 ĐỒNG NAI 2013-2014 Câu 1. Chia 2 vế cho x2 ta được: 4 3 2 2 1 1 x 2x x 2x 1 0 x 2 2 x 1 0 x x 2 1 1 x 2 x 1 0 x x 2 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 (1) hoặc x 1 2 (2) x x Giải (1) ta được 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 x hoặc x (3) 2 2 Giải (2) vô nghiệm Vậy chỉ có hai giá trị của x ở (3) thỏa bài toán Câu 2 x3 2y 1 x3 y3 2x 2y 0 3 y 2x 1 x y x2 y2 xy 2 0 y x(1) hoặc x2 y2 xy 2 0 (2) Với y = - x . Khi đó x3 2x 1 0 x 1 . x2 x 1 0 x 1 hoặc x2 x 1 0(3) Khi x = 1 thì y 1 1 5 1 5 Giải (3) ta được x hoặc x 2 2 1 5 1 5 Với x y 2 2 1 5 1 5 Với x y 2 2 2 y 3y2 (2) x 2 0 (vô nghiệm) 2 4
3. Hệ đã cho có 3 nghiệm như trên
4. Câu 3 3.1 Với m = 11 và n = 41 thỏa các điều kiện của bài toán Vì khi đó m2 2 12341 và n2 2 168311 3.2 Vì m2 2n mà n2 n nên m2 n2 2 n(1) Tương tự m2 n2 2 m (2) Gọi d là ước chung lớn nhất của m và n m2 n2 d Theo chứng minh trên m2 n2 2 m m2 n2 2 d 2d d 1(3) ; nếu d lớn hơn 1 thì d = 2 mâu thuẫn với m và n lẻ Từ (1), (2) , (3) suy ra m2 n2 2 mn Cuối cùng vì m lẻ nên m 2k 1 (với k ¥ ) m2 4k(k 1) 1 Tương tự n2 4l(l 1) 1 (với l ¥ ) Suy ra m2 n2 2 4 . Từ đó có điều phải chứng minh Câu 4. 4.1 Ta có 1000 23.53 Gọi k là một ước dương của 1000. Suy ra k 2n.5m với n, m ¥ thỏa n 3 và m 3 Vậy số ước dương của 1000 là 4.4=16 4.2 Gọi k là một ước dương chẵn của 1000. Suy ra k 2n.5m với n,m ¥ thỏa 1 n 3 và m 3 Vậy số ước dương chẵn của 1000 là 3.4=12.
5. Câu 5. A E M N D B O C 1 Theo giả thiết AD = AE ADE cân tại A C· EM A· ED 900 B· AC 2 1 Mà C· OM O· BC O· CB 900 B· AC 2 Vậy C· EM C· OM COEM là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết OE  AC . từ đó BM  CM Tương tự CN  BN BCMN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC