Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014-2015 Môn:TOÁN Ngày thi:04/03/2015 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (5 điểm) x 4 x x 8 ( x 2) 2 2 x Cho biểu thức A = : x 2 4 x x 2 Với x không âm,khác 4. a,Rút gọn A b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm,khác 4 c,Tìm x để A là số nguyên Câu 2 (5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a, 2x 2 5x 12 2x 2 3x 2 x 5 x y z 6 b, xy yz zx 11 xyz 6 Câu 3 (2 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2x 2 3xy 2y 2 2y 2 3yz 2z 2 2z 2 3zx 2x 2 Câu 4 (7 điểm) Cho đường tròn O, dây cung BC cố định.Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC.Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC;E,F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA′.Chứng minh rằng: a, Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau b, Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau c, Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A,độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1. HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (5 điểm) x 4 x x 8 ( x 2) 2 2 x Cho biểu thức A = : x 2 4 x x 2 Với x không âm,khác 4. a,Rút gọn A b,Chứng minh rằng A a2 – b2 = 2x +10 => x+5 = 2 Thay vào phương trình ta được: a 2 b 2 a + b = 2(a + b) – (a2 – b2) = 0 (a+b)(2 – a + b) = 0 2 vì a + b > 0 nên 2 – (a – b) = 0 hay a – b = 2 1 Giải ta tìm được x = -1; x = 7
3. x y z 6 x y 6 z 6 b, xy yz zx 11 xy yz zx 11 => z(6 z) 11 z xyz 6 6 xy (vì : z 0) z Giải ra ta có hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của (1;2;3) Câu 3 (2 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 3xy 2y 2 2y 2 3yz 2z 2 2z 2 3zx 2x 2 A = 2(x y) 2 xy 2(y z) 2 yz 2(z x) 2 zx (x y) 2 7 Ta có: 2(x + y)2 – xy ≥ 2(x + y)2 - = (x + y)2 4 4 7 => 2x 2 3xy 2y 2 ≥ (x + y) dấu “=” xảy ra khi x = y 2 7 Tương tự: 2y 2 3yz 2z 2 ≥ (y + z) dấu “=” xảy ra khi y = z 2 7 2z 2 3zx 2x 2 ≥ (z + x) dấu “=” xảy ra khi z = x 2 A = 2x 2 3xy 2y 2 2y 2 3yz 2z 2 2z 2 3zx 2x 2 ≥ 7 (x + y + z) = 3 7 Vậy minA = 3 7 khi x = y = z = 1 Câu 4 (7 điểm) Cho đường tròn O, dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC.Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC; E,F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA′.Chứng minh rằng: a, Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau b, Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau c, Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC a) Chứng minh: HEF ~ ABC Tứ giác ABHE nội tiếp =>ABH = HEF hay ABC = HEF Tứ giác AHFC nội tiếp =>ACH = AFH hay ACB = EFH Vậy HEF ~ ABC b) Chứng minh: HE  AC Ta có: ABC = HEF mà ABC = AA/C (cùng chắn cung AC) nên HEF = AA/C => HE //A/C Do A/C  AC nên HE  AC c) Ta có: Tứ giác AHFC nội tiếp trong đt đk AC nên
4. trung trực của HF đi qua trung điểm G của AC mà DG // AB nên DG đi qua trung điểm K của BC Tương tự: trung trực JI của HE cũng đi qua trung điểm K của BC. BC cố định nên K cố định Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF đi qua trung điểm K cố định khi A di động trên cung nhỏ BC. Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1. Giải: Chia cạnh huyền BC thành 2015 đoạn thẳng bằng nhau. Từ các điểm chia đó vẻ các đường thẳng song song với hai cạnh AB và AC ta được 2015 tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 1 và (2014 + 2013 + + 1) hình vuông có đường chéo bằng 1. Do đó trong tam giác ABC có tất cả 2015 + (2014x2015)/2 = 2031120 hình (vừa hình vuông có đường chéo bằng 1 vừa tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 1). Như vây trong 2031121 điểm sẽ tồn tại ít nhất hai điểm nằm trong một hình nào đó. Với hai điểm đó thì khoảng cách của nó không lớn hơn 1 =//=