Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1. (1,5 điểm) 3a 9a 3 a 1 a 2 Cho biểu thức M với a 0;a 1 a a 2 a 2 1 a a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm tất cả các giá tị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên. Bài 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 9 x2 xy xz 48 2 b) Giải hệ phương trình xy y yz 12 2 xz yz z 84 Bài 3. (2,0 điểm) a) Cho a 2. 2. 2. 2 vµ b 2. 2  . 2.2 Chứng minh rằng a và b 2016thõasè 2 3016thõasè 2 có cùng chữ số hàng đơn vị b) Cho hàm số y ax a 1 với a là tham số, a 0 và a 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị lớn nhất Bài 4. (3,5 điểm) Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M tùy ý. Đường tròn (M;MB) cắt đoạn thẳng AM tại D. a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều b) Chứng minh rằng MA=MB+MC c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O). Bài 5. (1,0 điểm) Cho x+y+z= 0 và xyz 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 P x2 y2 z2 y2 z2 x2 z2 x2 y2 HẾT
2. ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 ĐÀ NẴNG 2015-2016 Câu 1. 3a 3 a 3 a 1 a 1 a 2 a 2 M a 1 a 2 a 1 a 2 1 a a 2 3a 3 a 3 (a 1) (a 4) a 3 a 2 M a 1 a 2 a 1 a 2 Ta có: a 1 a 2 a 1 M a 1 a 2 a 1 a 1 2 2 M 1 a 1 a 1 2 M nguyên nguyên a 1 là ước của 2 a 1 a 1 1;1;2 a 0;4;9(do a 0) Câu 2 2a. Phương trình x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 9 2 2 x 1 2 x 1 3 9 x 1 2 x 1 3 9 x 1 2 x 5 2b 2 Cộng 3 phương trình của hệ ta được x y z 144 x y z 12 x(x y z) 48 Mặt khác hệ y(x y z) 12 kết hợp với trên ta có hai trường hợp sau z(x y z) 84 *) Với x+y+z= - 12 hệ có nghiệm x;y;z 4; 1; 7 *)Với x+y+z=12 hệ có nghiệm x;y;z 4;1;7 Câu 3 3a. Nhận xét 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 16 (8 thừa số 2)
3. 2016 chia hết cho 8 được 252 như vậy có thể phân số a thành 252 nhóm, mỗi nhóm có giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 252 nhóm này cũng có hàn đơn vị là 6 3016 chia hết cho 8 được 377 như vậy có thể phân số b thành 377 nhóm, mỗi nhóm có giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 377 nhóm này cũng có hàng đơn vị là 6 Suy ra điều phải chứng minh 3b. Tam giác vuông OAB tại O nên nếu gọi h là khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số 1 1 1 a2 1 a2 1 2 2 2 h2 OA2 OB2 a 1 a 1 a 1 thì a2 2a 1 2a 2 a h2 1 1 2. 1 a2 1 a2 1 a2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1. Vậy khi a=1 thì khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số là lớn nhất. Câu 4. A I D O B C M a) MB = MD (bán kính đường tròn (M)) B· MD B· CA 600 (cùng chắn cung AB)
4. Nên tam giác BMD đều b) Hai tam giác ABD và CBM bằng nhau vì AB = CB ; BD = BM · 0 · · Và ABD 60 DBC CBM DA MC MA MD DA Mà MD=MB vậy MA=MB+MC c) Gọi I là giao điểm của (O) với phân giác CO (trong tam giác đều ABC) I là điểm chính giữa của cung nhỏ A»B và I là điểm cố định thuộc (O) Nên MI là phân giác B· MD (góc nội tiếp chắn cung AB của đường tròn (O)) Nên MI là trung trực đoạn thẳng BD vì BDM là tam giác đều Suy ra ID=IB Do đó D luôn thuộc đường tròn I;IB cố định có tâm thuộc (O) Câu 5. Ta có : x+y+z=0 x (y z);y (z x);z (x y) 2 2 2 x2 y z ;y2 z x ;z2 x y 1 1 1 P 2 2 2 x2 y2 x y y2 z2 y z z2 x2 x z 1 1 1 x y z P P 0 2xy 2yz 2xz 2xyz