Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 VĨNH PHÚC ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (2,0 điểm) x 4 1 2 x 5 A : 1 Cho biểu thức x 4 x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình : x 1 x 2 x 6 x 3 45x2 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : x x2 x 1 4y 1 Câu 3. (1,0 điểm) Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x 2y 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức H x2 y2 xy x y 2 Câu 4. (3,0 điểm) Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn AB sao cho 3 0 AC AB; tia Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân 4 CE CA biệt sao cho 3 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn CB CD ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm H (H không trùng với C) a) Chứng minh rằng A· DC E· BC và ba điểm A, H, E thẳng hàng b) Xác định vị trí của C để HC  AD c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x y z 2. Chứng minh rằng x 2y z 2 x 2 y 2 z Câu 6 Trên mặt phẳng cho 5 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm bên trong đường tròn.
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 VĨNH PHÚC NĂM 2015-2016 Câu 1 x 0 x 0 a) Điều kiện x 4 0 x 4 2 x 5 1 0 x 2 2 x 3 x 3 2 Ta có: A : A x 4 x 2 2 x b) Để x, A ¢ thì 2 x là ước của 2. Suy ra 2 x nhận các giá trị 1; 2 2 x 1 - 1 2 - 2 x 1 9 0 16 A 2 - 2 1 - 1 Câu 2 a) Phương trình tương đương: (x2 7x 6).(x2 5x 6) 45x2 Nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình 6 6 Phương trình đã cho tương đương với x 5 x 7 45 x x 6 Đặt t x 1, ta được t2 81 0 t 9 x 6 Với t = 9 , ta có x 8 0 x2 8x 6 0 x 4 10 x 6 Với t = - 9 ta có x 10 0 x2 10x 6 0 x 5 19 x Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x 4 10;x 5 19 b) x x2 x 1 4y 1 x 1 x2 1 4y Do x, y ¢ x,y 0 Nếu x= 0 thì y=0 suy ra (0;0) là nghiệm của phương trình đã cho Nếu x > 0 y 0 x 1 chẵn , đặt x 2k 1,k 0 Khi đó k 1 2k2 2k 1 4y 1 Do 2k2 2k 1 là số lẻ, suy ra k = 0 nên x= 1; y=1 Suy ra (1;1) là nghiệm của phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm (x;y) là (0;0) và (1;1)
3. Câu 3 Do x, y ¢ và 3x + 2y = 1 suy ra x, y trái dấu 1 x 1 x 3x 2y 1 y x t ¢ 2 2 x 1 2t;y 3t 1 Khi đó H t2 3t t 1 2 Nếu t 0 H t 1 2 2, dấu “=” xảy ra khi t = 1 Nếu t <0 H t2 4t 1 1 2 x 1 Vậy GTNN của H là – 2 khi t 1 y 2 Câu 4 E H D C A B I
4. CE CA a) Từ giả thiết, có: CE > CD; 3 ;D· CA B· CE 900 CB CD Suy ra hai tam giác Adc, EBC đồng dạng , suy ra A· DC E· BC (1) Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy ra A· HC A· DC (2) Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra E· BC C· HE 1800 (3) Từ (1) (2) (3) suy ra A· HC C· HE 1800 suy ra ba điểm A, H, E thẳng hàng AC b) Ta có : tan A· DC 3 A· DC 600 E· BC 600 CD Do AD  HC A· CH A· DC 600 Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra A· EB H· CA 600 Suy ra ABE đều nên C là trung điểm AB c) Do A· HB 900 nên H thuộc đường tròn đường kính AB cố định Kéo dài HC cắt đường tròn đường kính AB tai điểm thứ hai I (I khác H) Suy ra A· HI 600 nên I cố định Vậy HC luôn đi qua I cố định khi C thay đổi trên đoạn AB Câu 5 Đặt x y 2a;y z 2b; z x 2c a,b,c 0;a b c 2 Bất đẳng thức trở thành a b 4abc Ta có: 2 a b c 2 a b c . Dấu “=” xảy ra khi a+b=c 2 1 a b c a b a b c 4abc a b 1 a b Dấu “=” xảy ra a b c 2 a b c 2 c 1 Vậy x 2y z 2 x 2 y 2 z x y y z 1 x z 1 Dấu “=” xảy ra z x 2 y 0 x y z 2 Câu 6.
5. Từ 5 điểm có 4+3+2+1=10 đoạn thẳng tạo thành. Do đó có ít nhất một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Giả sử 5 điểm A, B, C, D, E và hai điểm A, B có độ dài AB nhỏ nhất. Khi đó 3 điểm C, D, E còn lại có hai khả năng sau: TH1: cả ba điểm này nằm cùng phía trong nửa mặt phẳng bờ AB A B C E D Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C, D, E nhìn AB với các góc nhọn khác nhau. Giả sử A· CB A· DB A· EB khi đó đường tròn đi qua 3 điểm A, B, D chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài TH2: có một điểm khác phía hai điểm kac sở hai nửa mặt phẳng bờ AB. Giả sử E khác phía hai điểm C, D E A B C D
6. Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C, D nhìn AB với các góc nhọn khác nhau. Giả sử A· CB A· DB, khi đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, D chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài Vậy luôn có một đường tròn thỏa mãn điều kiện