Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Bến Tre (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Bến Tre (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SIN GIỎI LỚP 9 THCS BẾN TRE NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Câu 1. (7 điểm) a) Chứng minh rằng A n8 4n7 6n6 4n5 n4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên 2 2 2 x 3 12x 2 b) Cho biểu thức B x 2 8x . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị x2 nguyên của x để B có giá trị nguyên c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x x y 1 x2 2y2 xy Câu 2 (3 điểm) Cho hàm số y 2 x2 6x 9 x 2 có đồ thị (D) a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 6x 9 x 2 m vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x2 6x 9 x Câu 3. (2 điểm) 2 2 y x xy 2017 (1) 3 2 2 y Cho x, y, z là các số thực thỏa: z 1009 (2) (x 0,z 0,x z) 3 x2 xz z2 1008 (3) 2z y z Chứng minh rằng x x z Câu 4. (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn O1 đường kính AE và đường tròn O2 đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn với M là tiếp điểm thuộc O1 và N là tiếp điểm thuộc O2 a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB b) Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, Vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 900 . Từ B kẻ BM vuông 2 AM AB góc với AC tại M (điểm M thuộc AC). Chứng minh 1 2 MC BC
2. ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 BẾN TRE 2016-2017 Câu 1. 4 a) A n8 4n7 6n6 4n5 n4 n4 . n4 4n3 6n2 4n 1 n(n 1) 4 4 Vì n(n+1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n 1)2 n n 1 2 16 Do đó A16 với mọi n thuộc Z 2 2 2 2 2 2 x 3 12x 2 x 3 2 x 3 b) B x 2 8x x 2 x 2 x2 x2 x x2 3 2x2 2x 3 3 +) Nếu x 2 x 3 x Kết luận 2x2 2x 3 khi x 0 x 2x 3 B khi0 x 2 x 2x2 2x 3 khi x 2 x B có giá trị nguyên khi x 1; 3 c) 2y2x x y 1 x2 2y2 xy x 1 x2 2y2 y 1 x 1 1 x 2 x 2 2 2 x 2y y 1 2y y 1 0 y 1 x 1 1 x 0 x 0 2 2 x 2y y 1 2y y 1 0 y 1 Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là (2;1) và (0;1) Câu 2. 2 x 8nÕux 3 a) y 2 x 6x 9 x 2 2 x 3 x 2 3x 4 nÕux 3 Học sinh tự vẽ đồ thị b) Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị sau: (D) y 2 x2 6x 9 x 2 (1)
3. (D’): y=m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ m. Căn cứ vào đồ thị , ta có phương trình (*) vô nghiệm (D) và (D’) không giao nhau m 5 Vậy m 5thì pt (*) vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị đã vẽ ở câu a, ta có : nghiệm của (1) là tập hợp hoành độ của các x 6 điểm (D) có tung độ y 2 , nên x 2 Vậy tập nghiệm của (1) là x 6 hoặc x 2 Câu 3 2 2 y x xy 2017 (1) 3 2 2 y z 1009 (2) (x 0,z 0,x z) 3 x2 xz z2 1008 (3) Trừ (1) và (2) vế theo vế, ta có: x2 xy z2 1008(4) Trừ (3) và (4) vế theo vế ta có: xz xy 2z2 0 xz 2z2 xy 2xz 2z2 xy xz 2z(x z) x(y z) 2z y z x x z Điều phải chứng minh Câu 4 F D N K I M C A O1 E O O2 B
4. a) MN là tiếp tuyến chung của O1 và O2 nên MN  O1M;MN  O2N O1M / /O2N · · 0 MO1E NO2E 180 · · O1AM cân tại O1 suy ra MO1E 2O1AM · · O2BN cân tại O2 nên NO2E 2O2BN M· O E N· O E 2 O· AM O· BN O· AM O· BN 900 M· FN 900 1 2 1 2 1 2 Mặt khác A· ME B· NE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) E· MF E· NF 900 suy ra MENF là hình chữ nhật M· EF N· ME · · · · 0 Mà O1EM O1ME ( O1ME cân tại O1 ) và NME O1ME 90 (MN là tiếp tuyến) · · 0 MEF O1EM 90 hay EF  AB tại E b) Ta có AB = 18 cm, AE = 6 cm EB 12cm,OF 9cm AFB vuông tại F có đường cao EF nên EF2 AE.EB 6.12 72 EF 6 2 (cm) MN EF 6 2 (cm) Gọi K, I lần lượt là giao điểm của EF, OF với MN Tứ giác MENF là hình chữ nhật nên có N· MF N· EF mà NEF=ABF (cùng phụ góc BEM) N· MF A· BF (1) FNM : FAB Ta lại có OAF cân tại O suy ra OAF = OFA (2) Và O· AF A· BF 900 (3) Từ (1) (2) (3) N· MF O· FA 900 M· IF 900 FNM đồng dạng tam giác FAB và có FI, FE là hai đường cao tương ứng nên FI MN FI 6 2 FI 4cm OI OF FI 9 4 5cm EF AB 6 2 18 OID vuông tại I có ID2 OD2 OI2 92 52 56 ID 2 14 (cm) Vì OF  CD tại I nên CD 2.ID 4 14 (cm) Câu 5
5. A M B C ABC cân tại A nên AB = AC 2 2 2 AM AB AM MC AC AC AC 2 Ta có 1 2. 2. 2 2. 2 BC 2.AC.MC MC BC MC BC MC BC Ta cần chứng minh: BC2 2AC.MC 2 Thật vậy, BC2 BM2 MC2 AB2 AM2 AC AM AC2 AM2 AC2 2AC.AM AM2 2AC2 2.AC.AM 2AC.(AC AM) 2.AC.MC