Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phần thi cá nhân - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phần thi cá nhân - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016 2017 PHẦN THI CÁ NHÂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút I. PHẦN GHI KẾT QUẢ Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ sau: Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây: 1; 1; 2; 5; 29; Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày ( mà không nhìn vào trong hộp ) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được . Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được 1 tổng số cá 9 câu được, bạn câu được nhiều cá nhất câu được 1 tổng số cá câu được. Biết rằng số cá 7 câu được của mỗi bạn là khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người Câu 5. Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2 y 2 2 3 Câu 6. Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2 2(x 2x y) 3 y Câu 7. Giải hệ phương trình 2 2 x 2xy y 2 4 x 2y y 2x Câu 8. Cho các số x,y 0 thỏa mãn x 1 . Tìm giá trị lớn nhất của P y x2 y2 Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy tại K nằm trong tam giác ( D BC;E AB ) Biết AKE và BKE có diện tích lần lượt là 10cm2 và 20cm2 . Tính diện tích tam giác ABC Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, tung tuyến BM và phân giác trong CD đồng quy. Tính AB AC PHẦN II. TỰ LUẬN ab Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a b a b Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song . Gọi F là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I a) Chứng minh rằng IH.BD = IG.AC
2. S b) Cho độ dài CD = 2.AB . Tìm tỉ số diện tích IAB SICD Câu 13. Cho hình tròn ( C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn ( C) thì luôn tồn tại hai điểm trong k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 HÀ TĨNH NĂM 2016-2017 Câu 1. Số hình chữ nhật là (1+2+3+4+5).(1+2+3+4)=150 Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n Câu 2. Đáp số: 750797 2 2 Quy luật an 2 an 1 an (n 1;n ¥ ) 2 2 2 2 2 2 Suy ra a7 a6 a5 a5 a4 a5 750797 Câu 3. Đáp số 16 Câu 4. Đáp số 8 . Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là a1 a2 an Ta có 9an a1 a2 an 7a1 9an nan ;7a1 na1 n 8 Câu 5. Đáp số x= 6; y= 1 2 Câu 6. Đáp số x=2; x=4. Cách giải: đặt ẩn phụ Câu 7. Đáp số (x;y) 1; 1 ; 3;7  Đặt t 2x y 0 . Ta có phương trình t2 2t 3 0 t 1 594 Câu 8. Đáp số P max 257 4 x x 1 2x2 2y2 5xy 5 1 x 4 ;P 2 2 2 x y y y y 16 x y y x x y x y 255y 1 255 257 5.16 594 2. P 2 y x y 256x 256x 16 256 16 257 257 2 Câu 9. Đáp số SBAC 75m SAKE AE 1 Ta có , suy ra SBCE 2SACE SBKE BE 2 M là trung điểm AC nên SABM SCBM ;SAKM SCKM SBCK 30 SACE 25 2 Vậy SABC 75m AB 1 5 Câu 10. Đáp số AC 2 Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác ab ab Câu 11. Do là số hữu tỉ và a+b là số nguyên dương nên từ a b a b a b Suy ra a b là số chính phương
3. Do a b 18 a b 1;4;9;16 Thử lại các trường hợp ta có a 2;b 7 Suy ra số cần tìm là 27 Câu 12 E A B G H I O D C F a) Ta có EBD và EAC đồng dạng nên các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số EG BD DG DE đồng dạng . Suy ra EH AC CH EC Ta có E· DG E· CH (cùng nhìn cung AB) EDG đồng dạng với ECH Kéo theo D· EG C· EH , suy ra EI là phân giác G· EH BD EG GI Do đó IH.BD IG.AC (dpcm) AC EH HI b) Ta có FBD và FCA đồng dạng FGD và FHA đồng dạng G· FD H· FA FG GD BD IG FI là phân giác G· FH FH HA AC IH Suy ra FI là phân giác góc AFD Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD. Khi đó IM=IN 1 IM.AB S 1 Ta có IAB 2 S 1 2 ICD IN.CD 2
4. Câu 13. A O B Xét k = 7 , vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên cùng đường tròn tạo thành lục giác đều. Lúc đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra k 8 Với k=8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn. Ta kẻ các bán kính đi qua 7 điểm đó. Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng 1 bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm) Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán kính, suy ra hai bán kính tạo với nhau 1 góc nhỏ hơn 600. Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc AOB không là góc lớn nhất của tam giác OAB nên AB max OA;OB 1 Vậy trường hợp k=8 thỏa mãn Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8