Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Phù Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Phù Ninh (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm): a. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương b. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19. Câu 2. (4,0 điểm): x y 2 z a. Cho A . xy x 2 yz y 1 zx 2 z 2 Biết xyz = 4, tính A . x y z a b c x2 y2 z2 b. Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 x2 Câu 3. (3,0 điểm): Giải phương trình : x2 + = 3 (x 1)2 Câu 4. (7,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ AA'2 BB'2 CC'2 nhất? 2. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: BC 2 a) BD.CE = 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5. (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: a b c 3 T = + + 3a b c 3b a c 3c b a 5 ___ Hết ___
2. PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH H­íng dÉn chÊm thi CHỌN häc sinh giái líp 9 Môn: Toán (Có điều chỉnh biểu điểm so với đề thi) Câu 1 (5,0 điểm): a. ( 3,0 điểm) n 24 k 2 Ta có: 2 n 65 h k2 24 h2 65 k h k h 89 1.89 k h 89 k 45 k h 1 h 44 Vậy: n = 452 – 24 = 2001 b. ( 2,0 điểm) Với n = 0 ta có A(0) = 19  19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k  19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1  19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 = 7.52k.52 + 12.6n. 6 = 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6 = 6.A(k) + 7.52k .19  19 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n Câu 2. (6,0 điểm): a. (3,0 điểm) ĐKXĐ x,y,z 0. Kết hợp xyz = 4 x, y, z 0; xyz 2 Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với x , thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba bởi xyz ta được. x xy 2 z A 1 xy x 2 2 xy x z x 2 xy Suy ra A 1 ( vì A>0). b. (3,0 điểm) a b c ayz+ b x z+ cx y Từ : 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 a b c a b c
3. x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) a2 b2 c2 Câu 3. (1,0 điểm): ĐK: x - 1 x x2 x2 x2 ( x - )2 = 3 – 2 ( )2 + 2 - 3 = 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 5 x2 => = 1 => x1,2 = Hoặc = -3 vô nghiệm x 1 2 x 1 Câu 4. (6,0 điểm) 1. (3,0 điểm): 1 A .HA'.BC SHBC 2 HA' a) (1,0đ) C’ S 1 AA' B’ x ABC H .AA'.BC N 2 M I A’ SHAB HC' S HB' C Tương tự: ; HAC B SABC CC' SABC BB' D HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) (1,0đ) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI.AN.CM BN.IC.AM c) (1,0đ) Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx - Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 - Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 AA'2 BB'2 CC'2 Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC
4. AB = AC =BC ABC đều * Kết luận đúng 2. (3 ®iÓm): 0 a) (1 ®iÓm) Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ 120 Mˆ y 1 1 A ˆ 0 ˆ 0 ˆ V× M 2 = 60 nªn ta cã: M 3 120 M 1 x ˆ ˆ Suy ra D1 M 3 E Chøng minh BMD ~ CEM (1) D 2 BD CM 1 Suy ra , tõ ®ã BD.CE = BM.CM 2 3 BM CE B 1 C M BC BC 2 V× BM = CM = , nªn ta cã BD.CE = 2 4 BD MD b) (1 ®iÓm) Tõ (1) suy ra mµ BM = CM nªn ta cã CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED ˆ ˆ Tõ ®ã suy ra D1 D2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Chøng minh t­¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c) (1 ®iÓm) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. Câu 5 (2,0 điểm): Đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a => x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c => 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ; 4x (y z) 4y (x z) 4z (x y) => 10T = + + = x y z y z x z x y 3 = 12 – ( + + + + + ) 12 -6 =6 => T x x y y z z 5 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c ___