Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Ngô Quyền (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Ngô Quyền (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD – ĐT THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN MÔN: TOÁN MÃ ĐỀ Thời gian làm bài: 150 phút T-02-HSG9-NQ-PGDTM (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2 điểm) 1 2 a) Tìm f(3) nếu với mọi x ≠ 0 ta đều có f x 5f x x b) Phân tích biểu thức M thành nhân tử với M = (a + b + c)3 – (a + b – c)3 – (b + c – a)3 – (c + a – b)3 Câu 2 (2 điểm) a) Giải phương trình x + 3 x - 3 x + 9 x 1 y + 1 = 6 b) Giải hệ phương trình 2 2 x y + x + y 3 xy Câu 3 (2 điểm) a) Cho các số nguyên dương a1; a2; ; a900 thỏa mãn 1 1 1 60 . a1 a 2 a900 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau b) Giải phương trình nghiệm nguyên x(x + 1)(x + 3)(x + 4) = y2 Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC cân ở B có A· BC 400 . O là trung điểm của cạnh AC, kẻ OK vuông góc với AB (K AB). Điểm E thay đổi trên cạnh AB, điểm F thay đổi trên cạnh BC sao cho khoảng cách từ O đến EF bằng OK và 200 < A· OE < 900. a) Tính số đo góc EOF b) Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác COF c) Xác định vị trí của điểm E để AE + CF nhỏ nhất Câu 5 (1 điểm) a b c a b b c Cho các số dương a, b, c. Chứng minh 1 b c a b c a b Hết
2. PHÒNG GD – ĐT THANH MIỆN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÃ ĐỀ MÔN: TOÁN T-02-HSG9-NQ-PGDTM (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm 1 a. ( 1 điểm) 2 điểm 1 2 0,5 điểm f x 5f x x 1 Cho x = 3, x = ta được 3 1 1 f 3 5f 9 f 3 5f 9 3 3 1 1 1 5 f 5f 3 5f 25f 3 3 9 3 9 86 0,25 điểm 24f (3) 9 43 0,25 điểm f (3) 108 b. (1 điểm) Chứng minh (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) 0,5 điểm Áp dụng với x = a + b – c, y = b + c – a, z = a + c – b được M = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) 0,25 điểm Thay trở lại được M = 24abc 0,25 điểm 2 a) 1 điểm 2 điểm x + 3 x - 3 x + 9 0,25 điểm Điều kiện x ≥ - 9 Đặt x + 9 a a 0 a 2 x = 9 Ta được 0,25 điểm a 2 x = 9 x2 a 2 a + x = 0 2 x a = 9 => x - a x + a + 1 0 x = a x + a + 1 = 0 x = a đươc phương trình x2 – x – 9 = 0 với x ≥ 0 0,25 điểm 1 37 1 37 nghiệm x ;x 1 2 2 2 1 37 chỉ có x thỏa mãn x ≥ 0 1 2 x + a + 1 = 0 được phương trình x2 + x – 8 = 0 với x ≤ - 1 1 33 1 33 nghiệm x ;x 1 2 2 2
3. 1 33 chỉ có x thỏa mãn – 9 ≤ x ≤ - 1 2 2 0,25 điểm KL nghiệm x 1 y + 1 = 6 b) 1 điểm 2 2 x y + x + y 3 xy x 1 y + 1 = 6 xy + x y = 5 0,25 điểm 2 2 2 x y + x + y 3 xy x y + x + y xy 3 b + a = 5 b = 5 - a Đặt x + y = a, xy = b, ta có 2 2 a + a b 3 a + 2a 8 0 Giải hệ được (a, b) = (2; 3), (- 4; 9). 0,25 điểm x + y = 2 0,25 điểm - Với (a = 2; b = 3) ta được hệ hệ này vô nghiệm xy 3 x + y = - 4 - Với (a = - 4; b = 9) ta được hệ hệ này vô nghiệm xy 9 Vậy hệ phương trình vô nghiệm 0,25 điểm 3 a) 1 điểm Giả sử 1 ≤ a1 1 thì a2 + 2a + 1 < a2 + 3a < a2 + 4a + 4  (a + 1)2 < y2 < (a + 2)2 y 2 nằm giữa hai số chính phương liên tiếp (không xảy ra)  a ≤ 1 hay x2 + 4x – 1 ≤ 0 Giải bất phương trình được nghiệm 2 5 x - 2 - 5 0,25 điểm Vì x nguyên nên x = - 4; - 3; - 2; - 1; 0 0,25 điểm Với x = - 4; - 3; - 1; 0 tìm được y = 0 Với x = - 2 tìm được y = 2; -2 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là 0,25 điểm (x; y) = (- 4; 0); (- 3; 0); (- 2; - 2); (- 2; 2); (- 1; 0); (0; 0)
4. a) 1,5 điểm B Vẽ đường tròn (O; OK) 0,25 điểm Chứng minh (O; OK) tiếp xúc với EF và BC, gọi tiếp điểm tương ứng là I và H Tính được Aµ Cµ 700 0,25 điểm F Đặt E· OA I Tính được A· OK 20 0 E· OK 200 E K· EO 900 E· OK 900 200 1100 K H Từ đó chứng minh 0,25 điểm O· EF K· EO 1100 A C 0 O A· EF 2K· EO 220 2 E· FC 3600 Aµ Cµ A· EF 0,25 điểm 3600 700 700 2200 2 2 E· FO 0,25 điểm E· OF 1800 O· EF O· FE 0,25 điểm 1800 1100 700 b) 0,5 điểm Theo câu a) có E· FO C· FO A· OE C· FO 0,25 điểm Mặt khác Aµ Cµ => AEO COF (g-g) 0,25 điểm c) 1 điểm AE AO 0,25 điểm Do AEO COF => AE.CF = OA2 CO CF Theo bất đẳng thức Cô – si thì AE + CF 2 AE.CF = 2OA (không đổi) 0,25 điểm Dấu “=” xảy ra  AE = CF  EF // AC 0,25 điểm A· OE O· EF 1100 550 Vậy để AE + CF đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2OA thì E thuộc cạnh AB sao cho 0,25 điểm A· OE 550 5 0,25 điểm 1 điểm a + 2b + c 2 VP + 1 = (1) b + c a + b a b c 2 VT + 1 b + c a + b = 1 ab + bc + ca + b b c a
5. 0,25 điểm 2 2 2 2 2 2 a b c 2 2 VT + 1 b + c a + b 1 . ab + bc + ca + b b c a 2 a b c . ab . bc . ca 1.b (bunhia) b c a VT + 1 b + c a + b a + 2b + c 2 0,25 điểm a + 2b + c 2 0,25 điểm Vì a, b, c đều dương nên VT + 1 (2) b + c a + b Từ (1) và (2) => đpcm Lưu ý: Mọi cách giải đúng vẫn cho điểm tối đa.