Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hải Lăng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hải Lăng (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán VÒNG 2 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (4 điểm): a) Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13 b) Rút gọn biểu thức: A = (2+1)(22+1)(24+1) (2256 + 1) + 1 Bài 2 (4 điểm): a) Tính A = x2015 + y2015 + z2015. Biết x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 2 x 2 3x 3 b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên 2 x 1 Bài 3 (4 điểm): Giải phương trình: x3 - x2 - x = 1 3 Bài 4 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông cân tại A, trung tuyến BM, qua A kẻ đường thẳng vuông BM cắt BC tại D. Chứng minh: BD = 2DC. Bài 5 (4 điểm): Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân, đỉnh F có góc đáy là 150. Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều. Hết Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . Số BD: .
2. HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG 2 MÔN TOÁN 9 (2015-2016) Bài 1 (4 điểm) : a) (2đ) Ta có: 270 + 370 = ( 22)35 + (32)35 = 435 + 935⋮(4 + 9) hay (435 + 935)⋮13 Vậy 270 + 370 ⋮13 b) (2đ) Ta có: A = (2-1)(2+1)(22+1) (2256 + 1) + 1 = (22-1)(22+1) (2256 +1) + 1 = (24-1)(24+ 1) (2256 +1) + 1 = [(2256)2 –1] + 1 = 2512 Bài 2 (4 điểm): a) Tính A = x2015 + y2015 + z2015 Với x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 0 3(x + y)(y + z)(z + x) = 0 Nếu x + y = 0 thì z = 1 => A = 1 Nếu y + z = 0 thì x = 1 => A = 1 Nếu z + x = 0 thì y = 1 => A = 1 Tóm lại với x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 thì A = x2015 + y2015 + z2015 = 1 2x 2 3x 3 (2x 2 x) (4x 2) 5 5 b) P = x 2 (0,5đ) 2x 1 2x 1 2x 1 x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên thì 5 phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ) 2x 1 => * 2x - 1 = 1 => x = 1 * 2x - 1 = -1 => x = 0 * 2x - 1 = 5 => x = 3 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5đ) Vậy x = 1;0;3; 2 thì P có giá trị nguyên. Khi đó các giá trị nguyên của P là: x = 1 => P = 8 x = 0 => P = -3 x = 3 => P = 6 x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài 3 (4 điểm): Phương trình đã cho tương đương với : 3(x3 - x2 - x) =1 4 x3 = x3 + 3x2 + 3x+1 1 1 4x3 = (x + 1)3 3 4.x x 1 x vậy nghiệm là: x = 3 4 1 3 4 1
3. A Bài 4 (4 điểm): 1 N M 1 1 B // // C 2 K D 1 E Dựng hình vuông ABEC, gọi N là trung điểm AB, EN cắt BD tại K,hai tam giác giác vuông MAB và NBE bằng nhau (c.g.c) NE  BM mà AD  BM NE // AD, ∆ABD có NA =NB, NK //AD BK = KD BD = 2BK(1) · · · · Khi ∆MAB = ∆ NBE B1 = E 1 mà B1 = A 1 · · E 1 = A 1 · · · ¶ 0 Xét ∆EKBvà ∆ADC có E 1 = A 1 , EB = AC, B 2 = C1 (=45 ) ∆EKB= ∆ADC (g.c.g) BK = DC 2BK = 2DC(2), từ (1) và (2) suy ra BD = 2DC. Bài 5 (4 điểm): D 2 C I 2 F 2 H 0 0 2 15 F 15 F A B Dựng tam giác cân BIC như tam giác AFB có góc đáy 150 . ¶ 0 Suy ra : B2 60 (1) . Ta có VAFB VBIC (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2). Từ (1) và (2) suy ra :VFIB đều . µ 0 Đường thẳng CI cắt FB tại H . Ta có: I2 = 30 ( góc ngoài của VCIB ). ¶ 0 µ 0 Suy ra: H2 = 90 ( vì B = 60 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH là đường trung trực củaVCFB . Vậy VCFB cân tại C . Suy ra : CF = CB (3) Mặt khác : VDFC cân tại F . Do đó: FD = FC (4). Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC). Vậy VDFC đều. Thí sinh giải cách khác đúng vẩn dạt điểm tối đa.