Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Khánh Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Khánh Hòa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC: 2016-2017 MÔN: TOÁN 8 Ngày thi: 11-4-2017 Bài 1. (4 điểm) a2 7 b2 6 c2 3 a) Tìm 3 số dương a,b,cthỏa mãn : và a2 2c2 3c2 19 4 5 6 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x4 2x3 3x2 2x 1 Bài 2. (3 điểm) Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất nhận được 4 áo và 1 1 số còn lại, rồi đến lớp thứ n n 2;3;4 nhận được 4n áo và số áo còn lại. Cứ như 9 9 thế các lớp đã nhận hết số áo Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo ? Bài 3. (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để 1 n2017 n2018 là số nguyên tố Bài 4. (3 điểm) Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thua b1 trận, đội thứ 2 thắng a2 trận và thua b2 trận, ., đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9 trận. 2 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng a1 a2 a3 a9 b1 b2 b3 b9 Bài 5. (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài a cm .Lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và B). Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm D và E sao cho CD CAvà CE CB. a) Chứng minh AE vuôn góc với BD b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn nhất c) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài 6. (2 điểm) Hình vuông có 3 3ô (như hình bên ), chứa 9 số mà tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau được gọi là hình vuông kỳ diệu . Chứng minh rằng số ở tâm của một hình vuông kỳ diệu bằng trung bình cộng của hai số còn lại cùng hàng, hoặc cùng cột , hoặc cùng đường chéo. X
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Từ giả thiết a2 2c2 3b2 19 a2 2c2 3b2 19 a2 7 b2 6 c2 3 3b2 18 2c2 6 a2 7 2c2 6 3b2 18 14 Ta có: 14 4 5 6 15 12 4 12 15 1 a2 49 a 7 Suy ra : b2 64 b 8 c2 81 c 9 b) P x4 2x3 3x2 2x 1 x4 2x2 1 2x3 2x x2 2 2 x2 1 2x x2 1 x2 x2 x 1 2 2 2 2 1 1 3 1 3 3 3 9 Vì x x 1 x 2x. x P 2 4 4 2 4 4 4 16 1 Dấu " "xảy ra x 2 Bài 2. Gọi số lớp của trường A được nhận áo là x Vì lớp thứ x nhận áo cuối cùng và số áo được phát hết nên số áo lớp thứ x nhận được là 4x . 1 Lớp thứ x 1nhận số áo là 4 x 1 .4x 4,5x 4 8 Vì số áo các lớp nhận được như nhau nên ta có phương trình: 4,5x 4 4x x 8 Suy ra số áo mỗi lớp nhận được: 4.8 32(áo) Suy ra số áo trường A nhận được: 32.8 256(áo) Bài 3. Đặt: A 1 n2017 n2018 Với n 1thì A 3là số nguyên tố Với n 1,ta có:
3. 1 n2017 n2018 n2018 n2 n2017 n n2 n 1 n2 n2016 1 n n2016 1 n2 n 1 n2016 1 n2 n n2 n 1 672 671 670 Ta lại có: n2016 1 n3 1 n3 1 n3 n3 n3 1  n3 1 n2016 1  n2 n 1 . Suy ra A n2 n 1 , mà 1 n2 n 1 A nên A là hợp số. Vậy n 1là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện Bài 4. Mỗi đội bóng thi đấu với 8 đội bóng khác và hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau 1 trận nên mỗi đôi sẽ thi đấu 8 trận ai bi 8(với i 1,2,3 8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a2 a3 a9 8 a1 8 a2 8 a3 8 a9 16 a1 a2 a3 a9 576(1) Mặt khác, tổng số trận thắng của các đôi bằng tổng số trận đấu nên : 9.8 a a a a 36(2) 1 2 3 9 2 Từ (1) và (2) suy ra đpcm
4. Bài 5. E H D M I N A M' C J N' B a) Gọi H là giao điểm của BD và AE ACE DCB(c.g.c) Eµ Bµ Suy ra DHE : DCB g.g D· HE C· DB 900 1 1 1 1 1 b) Ta có: S S S S S .AC.CE .CB.CD AC.CB CMEDN CME CDN 2 ACE 2 BCD 4 4 2 2 AC CB a2 Mặt khác, theo bđt AM-GM ta có: AC.CB 4 4 a2 Suy ra S .Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi AC CB hay C là trung điểm AB CMEDN 8 c) Gọi J,M ', N 'lần lượt là hình chiếu vuông góc của I,M , N lên AB MM ' NN ' Ta có: IJ là đường trung bình của hình thang MNN 'M 'nên IJ (1) 2 Ta lại có MM’ là đường trung bình của ACE và NN’ là đường trung bình BCD nên CE CB CD AC MM ' và NN ' (2) 2 2 2 2 AC CB AB a Từ (1) và (2) suy ra IJ 2 2 2 4 4
5. Vậy khoảng cách của điểm I đến đoạn AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm C. Bài 6. Giả sử hình vuông kỳ diệu điền các số a,b,c,d,e, f , g,h,i như hình vẽ Đặt S a b c d e f g h i a b c d e f g h i S Suy ra d e f b e h a e i c e g (1) 3 4S Suy ra d e f b e h a e i c e g 3 4S d e f b e h a e i c e g 3 4S S S 3e e (2) 3 9 2S Từ (1) và (2) d f b h a i c g 2e(dfcm) 9