Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hưng Yên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hưng Yên (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN Năm học: 2013-2014 Môn: TOÁN 8 Bài 1 (2,0 đ) Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Bài 2 (2,0 đ). a) Cho a,b,clà 3 cạnh của một tam giác a b c Chứng minh rằng : A 3 b c a a c b a b c x y z a b c b) Cho 1 và 0 a b c x y z x2 y2 z2 Chứng minh rằng: 1 a2 b2 c2 Bài 3. (1,0 đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (3,0 đ) Cho ABC vuông tại A AC AB , đường cao AH H BC . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HA HD.Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh BC AH HC Bài 5. (1,0 đ) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 Bài 6 (1,0 đ) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
2. ĐÁP ÁN Câu 1. x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 86 84 82 x 300 b) Ta có: x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 x 5 x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 2 0 Từ đó tìm được x 13; x 2 Câu 2. a. Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được: A 2x 2y 2z 2 x y z x z y
3. 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 2 b. a b c ayz bxz cxy Từ 0 0 ayz bxz cxy 0 x y z xyz Ta có: 2 x y z x y z 1 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2 2 2 2. 1 a b c ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2. 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1 (dpcm) a2 b2 c2 Câu 3. Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số cua phân số cần tìm là x 11. Phân số cần x tìm là x 11 x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị ta được phân số: x 15 x 15 x x 15 Theo bài ta có phương trình: x 5(thỏa mãn) x 11 x 7 5 Từ đó ta tìm được phân số 6
4. Câu 4. A E M C D G B H 1) Hai tam giác ADC và BEC có: CD CA Cµ chung; (hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) CE CB Do đó : BEC : ADC Suy ra : B· EC ·ADC 1350 (vì AHD vuông cân tại H theo giả thiết) Nên ·AEB 450 do đó ABE vuông cân tại A. suy ra BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD 2) Ta có: . . Do BEC : ADC BC 2 BC 2 AC Mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH Nên . . ABH : CBA BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó BHM : BEC(c.g.c) , suy ra B· HM B· EC 1350 ·AHM 450 3) ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác B· AC GB AB AB ED AH HD Suy ra : , mà ABC : DEC ED / / AH GC AC AC DC HC HC
5. GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC Câu 5. 2010x 2680 A x2 1 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy GTNN của Alà 335khi x 3 Câu 6. Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z ; trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương) Ta có: xy 2 x y z 1 và x2 y2 z2 (2) Từ (2) suy ra z2 x y 2 2xy, t hay (1) vào ta có: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4 x y z2 4z 4 x y 2 4 z 2 2 x y 2 2 , suy ra z 2 x y 2 z x y 4, thay vào 1 ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là: x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 