Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÒA BÌNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi môn: TOÁN Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2011 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (4đ) 1. Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau a)A x3 3x2y 4xy2 12y3 b)B x3 4y2 2xy x2 8y3 2. Cho a 11 6 2 11 6 2 .Chứng minh rằng a là một số nguyên Bài 2 (6đ) 12 3 1. Giải phương trình 1 x2 x 4 x2 x 2 2. Cho hàm số y m 1 x m2 1 (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân x 1 3. Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất x 1 Bài 3 (4đ) 1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính bằng 2. Biết B· AC 600 , đường cao AH. Tính diện tích tam giác ABC 2. Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với một đấu thủ của trường kia một trận. Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tìm số cầu thủ của mỗi đội Bài 4 (5đ) Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Hai điểm E, F thay đổi trên nửa đường tròn sao cho số đo cun AE khác 0 và nhỏ hơn số đo cun AF, biết EF=R. Giả sử AF cắt BE tại H, AE cắt BF tại I 1. Chứng minh rằng tứ giác IEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn 2. Gọi EG và FQ là các đường cao của tam giác IEF, chứng minh rằng độ dài QG không đổi 3. Chứng minh rằng QG song song với AB Bài 5. (1 điểm) Giải phương trình : x 2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1
2. ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 HÒA BÌNH NĂM 2010-2011 Bài 1 a)A x 3y x 2y x 2y 1. B x 2y 1 x2 2xy 4y2 2 2 2. a 11 6 2 11 6 2 3 2 3 2 6 Bài 2. 1. Học sinh lập luận được x2 x 4 và x2 x 2 khác 0 rồi quy đồng đưa về phương trình dạng 9(x2 x) 12 x2 x 4 x2 x 2 1 17 Biến đổi được về dạng x2 x 4 x2 x 1 0 x 2 2. Lập luận được để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân thì đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng y = x (hoặc y = - x ) m 1 1 m 1 1 Từ đó dẫn đến 2 hoặc 2 . Giải hệ hai phương trình ta tìm m 1 0 m 1 0 dược m=2 hoặc m=0 thỏa mãn 2 3. Ta viết được A=1 x 1 2 Ta có x 1 1 1 1 2 1 x 1 Vậy Min A= - 1 khi x=0 Bài 3. 1. A O B K C
3. Gọi K là trung điểm của BC, dễ có K· OC 60 Xét tam giác vuông OKC có OC = 2. Tính được KC OC.sin600 3 Tính được BC 2 3 , suy ra diện tích tam giác ABC là S 3 3 2. Gọi số cầu thủ đội trường A là x, số cầu thủ đội trườn B là y Ta có phương trình xy 4 x y (x 4)(y 4) 16 Ta lập luận và tìm được x=20; y=5 Bài 4. I Q G F E H A B O
4. 1. Vì I·EH I·FH 900 nên IHEF nội tiếp đường tròn 2. Ta dễ dàng chứng minh được IQG đồng dạng với IFE (góc – góc) QG IG 1 1 1 Từ đó có ;QG EF R(dpcm) EF IE 2 2 2 3. Chứng minh được IAB đồng dạng IEF (g.g) kết hợp với câu 2 ta có IQ IG IQG : IAB suy ra dẫn đến QG song song với AB IA IB Bài 5. Học sinh tìm được ĐK 1 x 7 và biến đổi phương trình về dạng tích x 1 2 . x 1 7 x 0 Học sinh giải phương trình tích tìm được x=5 hoặc x=4 đều thỏa mãn.