Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Xuyên Mộc (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Xuyên Mộc (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN HUYỆN XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1:(3,0 điểm) 1) Chứng minh rằng các số A 62015 1 và B 62016 1đều là bội của 7. 102016 1 102016 1 2) So sánh A và B 102017 11 102017 9 Bài 2: (5,5 điểm) 2 x 9 2 x 1 x 3 1) Rút gọn biểu thức: P với x 0;x 4;x 9. x 5 x 6 x 3 2 x 2016x2 2x 2016 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q x2 1 3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 3: (3,5 điểm) 1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. a b c 2) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 2 a b b c c a Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K. Gọi E là giao điểm của AM và OK. 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh: IN = IO. 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: EF//AB. Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Một điểm P chạy trên cung nhỏ A»B (P khác A và B). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O). HẾT Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị số 1: Số báo danh: .
2. UBND HUYỆN XUYÊN MỘC PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9 (Hướng dẫn chấm có trang) Bài 1:(3,0 điểm) 1) Chứng minh rằng các số A 62015 1 và B 62016 1đều là bội của 7. 102016 1 102016 1 2) So sánh A và B 102017 11 102017 9 Bài 1 Đáp án Điểm Ta có: A 62015 16 1 77 0,5 1013 2016 2 2 0,5 1.1 B 6 1 6 16 1 357 (1,0đ) 10.(102016 1) 102017 11 1 1 Ta có: 10. A 1 (*) 102017 11 102017 11 102017 11 0,75 10.(102016 1) 102017 9 1 1 1.2 Và: 10. B 1 ( ) (2,0đ) 102017 9 102017 9 102017 9 0,5 1 1 Ta thấy nên từ (*) và ( ) 10A > 10B A > B. 102017 11 102017 9 0,75 ( Trong 2 ý đầu, ý nào chứng minh trước đúng cho 0,75; ý sau tương tự cho 0,5đ) Bài 2: (5,5 điểm) 2 x 9 2 x 1 x 3 1) Rút gọn biểu thức: P với x 0;x 4;x 9. x 5 x 6 x 3 2 x 2016x2 2x 2016 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q x2 1 3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 2 Đáp án Điểm 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) P ( x 2)( x 3) 0,75 2.1 (2,0đ) x x 2 ( x 2)( x 1) x 1 P 0,5x2 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3 +0,25 a) Ta có: 2016x2 2x 2016 (2017x2 2017) (x2 2x 1) 0,5 Q x2 1 x2 1 2.2 2017(x2 1) (x 1)2 (x 1)2 0,5 (2,0đ) 2017 (*) x2 1 x2 1 x2 1 (x 1)2 Vì 0 nên từ (*) Q 2017 x2 1 0,25 (x 1)2 0,5 Dấu “=” xảy ra 0 x 1 0 x 1 x2 1
3. Vậy max Q = 2017 x 1 0,25 Cách 1: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) 0,25 Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) 5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) 5 0,25 Đặt x2 – 4 = 5t ( t ¥ ) x2 = 5t + 4. Thay vào (*) y2 = 10 – 6t 0,25 4 2 2 t x 0 x 5t 4 0 5 4 5 Vì t y2 0 y2 10 6t 0 5 5 3 0,25 t 3 t 0 hoặc t = 1 2 2.3  Khi t = 0 thì y = 10 (loại vì y ¢ ) (1,5đ) x2 9 x 3 0,5  Khi t = 1 thì (vì x > 0; y > 0) 2 y 4 y 2 Cách 2: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) 0,25 Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) 5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) 5 0,25 [(x2 – 4) +5] 5 (x2 +1) 5 ( ). 0,25 Từ bài ra 0 0; y > 0) 0,25 Bài 3: (3,5 điểm) 1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. a b c 2) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 2 a b b c c a Bài 3 Đáp án Điểm Xét pt: m 4 x m 3 y 1 Ta thấy: m 4 .0 m 3 .0 0 1 nên (d) không thể đi qua O(0;0) 0,25 + m = 4 ta được y = 1 nên K/c từ (d) đến O bằng y 1 + m = 3 ta được x = - 1 nên K/c từ (d) đến O bằng x 1 1 0,25x2 1 1 + m 3;m 4 thì (d) cắt Ox tại A ,0 và cắt Oy tại B 0, m 4 m 3 0,25 3.1 (2,0đ) Kẻ OH vuông góc với (d) tại H; ta có K/c từ O đến (d) là OH. Dựa vào ΔOAB vuông tại O chỉ ra được 2 1 2 2 7 1 1 2 (m 4) (m 3) 2 m 0,5 OH 2 2 2 0,25 Suy ra được: OH 2 7 0,25 Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất OH = 2 khi m = 2 Vì a, b, c là các số dương (gt) nên ta có: a a a c 0,5 (1) a b c a b a b c
4. 3.2 b b b a 0,25 (2) (1,5đ) a b c b c b c a c c c b 0,25 (3) a b c c a c a b a b c 0,5 Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 1 2 a b b c c a Lưu ý: HS chứng minh đúng một vế cho 0,75đ Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K. Gọi E là giao điểm của AM và OK. 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh: IN = IO. 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: EF//AB. K N M I E F A B O H Bài 4 Đáp án Điểm Hình vẽ đến câu 1 0,25 4.1 (1,75đ) Chứng minh được OK  AM tại E 0,75 Dựa vào OAK vuông tại A chỉ ra được OE.OK = OA2 = R2 không đổi. 0,75 Chứng minh được: OK // BN (  AM) 0,25x2 4.2 Chứng minh được: AOK = OBN (g.c.g) OK = BN 0,5 + 0,25 (1,75đ) Suy được OBNK là hình bình hành từ đó suy được: IN = IO 0,5 Chứng minh được AOK đồng dạng HBM HB MB HB2 MB2 (1) AO OK AO2 OK 2 0,5 Chỉ ra được MB2 = HB.AB và OA2 = OE.OK (cma) (2) 0,25 4.3 (2,0đ) Từ (1) và (2) suy được HB2 HB.AB HB AB HB OE (3) OK.OE OK 2 OE OK AB OK 0,5
5. HB FB 0,25 Chứng minh được (4) AB BK FB OE 0,5 Từ (3) và (4) suy ra EF // OB //AB (đl Ta let) KB OK Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Một điểm P chạy trên cung nhỏ A»B (P khác A và B). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O). A 1 3 2 P 1 O 1 Q B C Bài 5 Đáp án Điểm Vì ABCđều, P A»B nên AP < PC. Lấy điểm Q trên PC sao cho PQ = PA 0,25 · µ 0 0 APQ cân có APQ P1 60 (chắn cung 120 ) nên APQ đều 5 0,75 (2,5đ) AP = AQ = PQ - Chứng minh được APB = AQC (c.g.c) PB = QC 1,0 Từ đó PA + PB = PQ + QC = PC. Mà PC là 1 dây của (O) nên PC 2R (đường kính) Chứng tỏ tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn 0,5 đường kính của đường tròn (O). (đpcm) Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì GK vẫn cho điểm tương đương. 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.