Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Kiên Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Kiên Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 01/03/2012 Câu 1. (4 điểm) a) Cho S 1 3 32 33 34 396 397 398 399 Chứng minh S chia hết cho 40 a3 b3 c3 3abc b) Rút gọn phân thức 2 2 2 a b a c b c Câu 2 (4 điểm) 2 3 2 3 a) Thực hiện phép tính : 2 2 3 2 2 3 b) Cho a b c 0; a,b,c 0 . Chứng minh đẳng thức 1 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 a b c Câu 3. (4 điểm) a) Giải phương trình: 2x2 2x 1 4x 1 x 2 2 y 1 9 b) Giải hệ phương trình : x y 1 1 Câu 4. (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O). Vẽ đường kính CE. a) Chứng minh ABDE là hình thang cân b) Chứng minh AB2 CD2 BC2 DA2 2R 2 c) Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K. Chứng min A, B, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt Câu 5. (3 điểm) Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tính giá trị lớn nhất của tích KH.KM
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 KIÊN GIANG NĂM 2011-2012 Câu 1. 1a. S 1 31 32 33 34 35 36 37 396 397 398 399 S 1 31 32 33 34. 1 31 32 33 396. 1 31 32 33 S 1 31 32 33 . 1 34 38 396 S 40. 1 34 38 396 Vậy S chia hết cho 40. 1b. 3 Tử thức = a b 3ab(a b) c3 3abc 3 a b c3 3ab.(a b) 3abc 2 a b c a b (a b)c c2 3ab(a b c) = a b c . a2 2ab b2 ac bc c2 3ab a b c . a2 b2 c2 ab bc ca Mẫu thức a2 2ab b2 a2 2ac c2 b2 2bc c2 2(a2 b2 c2 ab bc ca) a b c Kết quả với a2 b2 c2 ab bc ca 0 2
3. Câu 2. 2a. Nhân số bị chia và số chia với 2 2. 2 3 2. 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3 2. 2 3 2. 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 . 3 3 2 3 . 3 3 2. 2. 2 3 3 3 3 6 Câu 2b. Ta có: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c ab ac bc 1 1 1 c b a 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a b c abc a b c 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c 1 Câu 3a. DK :4x 1 0 x 4 2x2 2x 1 4x 1 4x2 4x 2 2 4x 1 2 4x2 4x 1 1 0 (thỏa) 2 4x 0 x 0 4x 1 1 0 x 2 2 y 1 9 (1) Câu 3b. x y 1 1(2)
4. - Từ pt (2) y 1 1 x 0 x 1 - Thế vào phương trình (1) ta có x 2 2 1 x 9 x 2 2x 11 - (vì x 1 ) 2 x 2x 9 x 3 y 3 - Thế x= -3 vào pt (2) : y 1 1 3 2 y 1 2 y 1 - Vậy nghiệm của hệ là (-3 ; 3); (-3;-1) Câu 4 A F I D B C K a) Ta có góc EAC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AE  AC
5. Mà BD  AC (gt) AE / /BD ABDE là hình thang Mà ABDE nội tiếp đường tròn (O) nên ABDE là hình thang cân b) Ta có góc EDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) DEC vuông ở D 2 ED2 CD2 EC2 2R 4R2 Mà AB = ED (vì ABDE là hình thang cân) AB2 CD2 4R2 Chứng minh tương tự BC2 DA2 4R2 AB2 CD2 BC2 DA2 8R2 AB2 CD2 BC2 DA2 2R 2 c) Ta có : góc BAC = góc BDC (cùng chắn cung BC) Góc IAF = góc BDC (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Suy ra góc BAC = góc IAF ABF cân tại A Mà AI là đường cao , nên AI là đường trung tuyến IB IF Chứng minh tương tự IA IK ABKF là hình bình hành Mà AK  BF nên ABKF là hình thoi Câu 5. A K H B M - Xét KAH và KMB ta có: Góc AKH = góc MKB = 900 Góc KAH = góc KMB (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc)
6. KH AK KAH và KMB đồng dạng KH.KM AK.KB KB KM Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương AK KB AB2 Ta có: AK.KB AK.KB 2 4 AB2 Do đó KH.KM (không đổi) 4 Dấu “ = “ xảy ra AK KB 2 Vậy giá trị lớn nhất của KH.KM là AB 4