Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Kiên Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Kiên Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 01/3/2013 Câu 1. (4 điểm) a) Tìm m để hàm số y m2 2m x m2 1 nghịch biến và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M 5x2 y2 z2 4x 2xy z 1 c) Cho x y 5 và x2 y2 11. Tính x3 y3 Câu 2. (4 điểm) x2 5x 6 x 9 x2 2x a) Rút gọn : A : 2. 1 3x x2 (x 2) 9 x2 3 x 1 1 1 1 b) Cho a, b, c thỏa mãn a b c a b c Tính giá trị biểu thức Q a27 b27 b41 c41 c2013 a2013 Câu 3. (4 điểm) a) Giải phương trình : 3 x 10 3 17 x 3 2x 3 y 5 2 3 b) Giải hệ phương trình : y 5 2x 3 x ;y 5 2 3x 2y 19 Câu 4. (4 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A vẽ AK // BC (K CD ) và qua B kẻ BI // AD ( I CD ); BI cắt AC tại F, AK cắt BD tại E a) Chứng minh KD = CI và EF // AB b) Chứng minh AB2 CD.EF Câu 5. (4 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) . M là một điểm di động trên cung BC của đường tròn đó a) Chứng minh : MB + MC = MA b) Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB +MC đạt giá trị lớn nhất c) Gọi H, K, Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, AC; đặt diện tích tam 2 3(S 2S ') giác ABC là S và diện tích S’. CMR :MH MK MQ khi M di 3R động trên cung BC
2. ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 KIÊN GIANG 2012-2013 Câu 1. 1.a) Hàm số y m2 2m x m2 1 nghịch biến m2 2m 0 m(m 2) 0 m 0 m 0 m 2 0 m 2 0 m 2 (1) m 0 m 0 m 2 0 m 2 Cắt trục tung: m2 1 3 m 2 (2) Từ (1) và (2) m  Câu 1b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M 5x2 y2 z2 z 4x 2xy 1 1 9 M x2 2xy y2 4x2 4x 1 z2 z 4 4 2 2 2 1 9 9 x y 2x 1 z 2 4 4 9 Giá trị nhỏ nhất của M 4 x y 0 1 2x 1 0 x y z 2 1 z 0 2 Câu 1c. Cho x+y= - 5 và x2 y2 11 . Tính x3 y3 Ta có: x3 y3 x y x2 y2 xy 5(11 xy) (1) Mà x y 5 x2 y2 2xy 25 11 2xy 25 xy 7 (2) Từ (1) và (2) x3 y3 5.(11 7) 20
3. Câu 2 x2 5x 6 x 9 x2 2x 2a. Rút gọn: A : 2. 1 3x x2 (x 2) 9 x2 3 x ĐK: 3 x 3 x 3 x 2 x 3 x. 3 x 3 x 2x A : 2 x(3 x) (x 2) 3 x. 3 x 3 x 3 x 3 x x 2 3 x x 3 x 3 x : 2 3 x. x 3 x x 2 3 x 3 x 3 x 3 x 1 : 2 3 x 3 x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a b (a b) a b c a b c a b a b c c ab c(a b c) (a b)c(a b c) ab(a b) (a b)c(a b c) ab 0 Câu 2b. Ta có : (a b)c(a c) bc ab 0 (a b)c(a c) b(a c) 0 a b 0 a b (a b)(a c)(b c) 0 b c 0 b c c a 0 c a Thế vào tính được Q = 0 Câu 3 3a. Gpt: 3 x 10 3 17 x 3 3 3 x 10 3 17 x 33 x 10 17 x 33 (x 10)(17 x).3 27 x 10 (x 10)(17 x) 0 x 17
4. 2x 3 y 5 2 3 3b. y 5 2x 3 x ;y 5 2 3x 2y 19 2x 3 1 2 Đặt m 0 m 2 m2 2m 1 0 m 1 0 m 1 (chọn) y 5 m 2x 3 1 2x 3 y 5 2x y 8 y 5 2x y 8 4x 2y 16 x 5 Giải hệ 3x 2y 19 3x 2y 19 y 2 Câu 4. A B F E D I K C a) Chứng minh KD CI và EF // AB Chứng minh ABID, ABCK là hình bình hành DI CK (cùng bằng AB) DI IK CK IK DK CI AE AB Vì AEB đồng dạng KED (g.g) EK KD
5. AF AB AFB đồng dạng CFI(g.g) FC CI AE AF Mà KD = CI EF / /KC (Định lý Ta let đảo trong AKC ) EK FC b) Chứng minh AB2 CD.EF Ta có : KED đồng dạng AEB(g.g) DK DE DK AB DE EB AB EB AB EB (Vì ABCK là hình bình hành) DK KC DB DC DB (1) AB EB AB EB Do EF//DI (theo cmt : EF//KC và I KC) DB DI DB AB (2) (Vì DI = AB) EB EF EB EF DC AB Từ (1) và (2) AB2 DC.EF AB EF Câu 5.
6. A O D Q B C H K M a) Chứng minh MC+MB=MA Trên MA lấy D sao cho MD = MB MBD cân tại M Góc BMD = góc BCA =600 (cùng chắn cung AB) MBD đều Xét MBC và DBA có MB = BD (vì MBD đều) BC = AB (vì ABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng D· BC bằng 60 ) MBC DBA(c g c) MC DA Mà MB = MD (gt) MC MB MA b) Xác định vi trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất Ta có MA là dây cung của (O; R) MA 2R MAMB MC 4R (không đổi) Dấu “ =” xảy ra MA là đường kính M là điểm chính giữa cung BC
7. 2 3. S 2S ' c) CMR: MH MK MQ 3R MH.AB MK.BC MQ.AC S S S Ta có : 2 2 2 MAB MBC MAC AB.(MH MK MQ) 2(S 2S') Vì AB là cạnh tam giác đều nội tiếp (O;R) 2 3(S 2S ') AB R 3 MH MK MQ 3R