Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN VĨNH LỘC KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học : 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP 8 Bài 1. (4,0 điểm) 1 x3 1 x2 Cho biểu thức : A x : 2 3 với x khác 1 và 1 1 x 1 x x x 1) Rút gọn biểu thức A 2 2) Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 3 3) Tìm giá trị của x để A 0 Bài 2. (4,0 điểm) 1 2 6 a) Giải phương trình sau: x2 2x 2 x2 2x 3 x2 2x 4 b) Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức: M x 1 x 2 x 3 x 4 1là bình phương của một số nguyên. Bài 3. (4,0 điểm) a) Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn x y z chia hết cho 6. Chứng minh M x y y z x z 2xyz chia hết cho 6 b) Cho a,b,clà các số khác 0 thỏa mãn: a3b3 b3c3 c3a3 3a2b2c2 / a b c Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 b c a Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC ,có đường cao AH sao cho AH HC. Trên AH lấy một điểm I sao cho HI BH.Gọi P và Q là trung điểm của BI và AC. Gọi N và M là hình chiếu của H trên AB và IC;K là giao điểm của đường thẳng CI với AB; D là giao điểm của đường thẳng BI với AC a) Chứng minh I là trực tâm của tam giác ABC b) Tứ giác HNKM là hình vuông c) Chứng minh bốn điểm N,P,M ,Q thẳng hàng. Bài 5. (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2015 y2015 z2015 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : x2 y2 z2
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 1.1) Với x khác 1 và – 1 thì 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 1 x 1 x 2 2 5 5 5 2 1.2) Tại x 1 thì A 1 1 10 3 3 3 3 27 1.3) Với x khác 1 và – 1 thì A 0 1 x2 1 x 0 1 x 0 x 1 Bài 2. 1 2 6 a) x2 2x 2 x2 2x 3 x2 2x 4 Đặt t x2 2x 3 x 1 2 2 t 2 Phương trình đã cho trở thành: 1 2 6 t 1 t t 1 t 2(TM ) 2 3t 7t 2 1 t (KTM ) 3 Do đó: x 1 2 2 2 x 1 2 0 x 1 b) Ta có: M x 1 x 2 x 3 x 4 1 x2 5x 4 x2 5x 6 1 Đặt t x2 x 5 Khi đó: M t 1 t 1 1 t 2 1 1 t 2 Vì x là số nguyên nên t là số nguyên . Vậy M lầ bình phương của một số nguyên. Bài 3. a) Ta có: M x y x z y z 2xyz Học sinh biến đổi được:
3. M x y z xy yz zx 3xyz Vì x, y, z là các số nguyên thỏa mãn x y z chia hết cho 6 nên x y z xy yz xz chia hết cho 6 Trong 3 số x, y, z tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2. Suy ra 3xyz6 Do đó, x y z xy yz xz 3xyz chia hết cho 6 . Vậy M 6 b) Đặt ab x;bc y;ca z Ta có: x3 y3 z3 3xyz Học sinh chứng minh : x y z 0 hoặc x2 y2 z2 xy yz xz 0 TH1: x y z 0 Sử dụng hằng đẳng thức : x y z 3 x3 y3 z3 3 x y z x z xyz x y y z x z Ta có: a2b2c2 ab bc bc ca ca ab abc a b b c c a a b c P 1 1 1 1 b c a TH 2: x2 y2 z2 xy yz xz 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 x y z ab bc ca a b c P 8
4. Bài 4. A D K I Q M P N B H C a) Xét tam giác BHI có: BH HI,Hµ 900 BHI vuông cân tại H I·BH 450 AHC có AH HC,Hµ 900 AHC vuông cân tại H ·ACH 450 BCD vuông cân tại D Tam giác ABC có hai đường cao AH,BD. Vậy I là trực tâm ABC b) Xét tứ giác HMKN có: M¶ Nµ 900 ,Kµ 900 (CK đường cao) Tứ giác HMNK là hình chữ nhật (1) Xét MIH và NBH có: H· MI H· NB 900;HB HI(gt);H· IC H· BN HMI HNB g.c.g HM HN 2 Từ 1 và 2 : Tứ giác HMKN là hình vuông
5. c) Theo câu b: Tứ giác HMKN là hình vuông nên M , N thuộc trung trực đoạn thẳng KH -Xét 2 tam giác vuông AHC và AKC;trung tuyến HQ,KQ.Ta có: 1 1 HQ AC;KQ AC Q trung trực KH 2 2 Vậy 4 điểm M , N,P,Q thẳng hàng Bài 5. Áp dụng BĐT Cô si cho 2015 số dương x2015, x2015,1;1;1;1;1;1 1;1.ta được: x2015 x2015 1 1 1 1 1 20152015 x2015.x2015.1.1.1 1 2015x2 2x2015 2013 2015x2 Tương tự ta cũng có: 2y2015 2013 2015y2 2z2015 2013 2015z2 2 x2015 y2015 z2015 6039 2015. x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 Dấu " "xảy ra x y z 1 Vậy Max 3 x y z 1 x2 y2 z2