Đề thi học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học 2018- 2019 Môn thi:Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) x 2 x 1 x 1 Cho biểu thức: P : (Với x 0, x 1) x x 1 x x 1 1 x 2 a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm giá trị của P khi x 11 3 8 3 8 . c. So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 4x2 3x 3 4 x3 3x2 2 2x 1 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d 1): y = 3x – m – 1 và (d2) : y = 2x + m - 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của (d1) và (d2) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 3: ( điểm) a) Tìm số nguyên a sao cho a 4 4 là số nguyên tố b) Đặt a 3 2 3 3 2 3 64 Chứng minh rằng M = 3a là số chính phương. (a 2 3)3 Bài 4: ( điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a. Chứng minh rằng: S Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; AEF cos2 A. SABC 2 2 2 b. Chứng minh rằng : SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC HA HB HC c.Chứng minh rằng: 3 . BC AC AB Bài 5: ( điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 9 Bài 1: ( 2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm ĐKXĐ Với x 0, x 1 x 2 x x x x 1 x 1 P : a) 2 ( x 1)(x x 1) 0.75 x 2 x 1 2 2 . . ( x 1)(x x 1) x 1 x x 1 x 11 6 2 3 2 2 (3 2)2 ( 2 1)2 3 2 2 1 (3 2) ( 2 1) =2(TM ĐKXĐ) 0.25 b) 2 2 2(3 2) Thay x =2 vào P ta có P 0.25 2 2 1 3 2 7 2(3 2) Vậy khi x = 2 thì P 0.25 7 Vì x x 1>0 nên P >0 Với x 0 thì x x 0nên x x 1 1 1 2 c) suy ra: 1 P 2 0.25 x x 1 x x 1 Do 0 < P 2 nên P.(P – 2) 0 P2 2P Vậy P2 2P 0.25 Bài 2: ( 2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a) 2 3 2 1 4x 3x 3 4 x 3x 2 2x 1 ( ĐKXĐ x ) 2 4x2 3x 3 4x x 3 2 2x 1 0.25 4x2 4x x 3 x 3 1 2 2x 1 2x 1 0 2 2 2x x 3 1 2x 1 0 0.25 2x x 3 4x2 x 3 x 1(tmđk) 0.25 1 2x 1 1 2x 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 1 0.25 Tìm được (d1) cắt (d2) tại M(2m ; 5m-1) với mọi m. 5 0.75 Suy ra quan hệ : ym = xm - 1 với mọi m 2 b) Vậy khi m thay đổi, giao điểm M của (d 1) và (d2) luôn nằm trên đường thẳng cố định (d) : y = 5 x - 1. 0.25 2
3. Bài 3: ( 2 điểm) Ý/ Đáp án Điểm Phần a) Ta có : a 4 4 = (a 4 4a2 4) 4a2 a 2 -2a+2 a 2 +2a+2 0.25 Vì a Z a 2 -2a+2 Z;a 2 +2a+2 Z Có a 2 +2a+2= a+1 2 1 1 a 2 2 Và a -2a+2= a-1 1 1 a 0.25 4 2 2 nên a 4 là số nguyên tố thì a +2a+2=1 hoặc a - 2a+2=1 0.25 Nếu a 2 +2a+2=1 a 1 thử lại thấy thoả mãn Nếu a 2 -2a+2=1 a 1 thử lại thấy thoả mãn Vậy a 4 4 là số nguyên tố thì a=1 hoặc a= -1 0.25 b) Từ a 3 2 3 3 2 3 a3 ( 3 2 3 3 2 3)3 a3 = 3a +4 a3 - 3a = 4 0.25 Mặt khác từ a3 = 3a +4 a(a2 - 3 ) = 4 a2 - 3 = 4 : a (vì 0.25 a3 = 3a +4 nên a ≠0 ) 64 Thay vào và rút gọn ta có M = 3a = a3 - 3a = 4 (a 2 3)3 Vậy M là số chính phương . 0.5 Bài 4: ( 3 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a) A E F H B C D AE Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = 0.5 AB Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = AF . AC AE AF Suy ra = AEF : ABC(c.g.c) AB AC 0.5 2 SAEF AE 2 * Từ AEF : ABC suy ra cos A SABC AB
4. b) SBDF 2 SCDE 2 Tương tự câu a, cos B, cos C. 0.25 SABC SABC Từ đó suy ra S S S S S DEF ABC AEF BDF CDE 1 cos2 A cos2 B cos2 C S S ABC ABC 0.5 2 2 2 Suy ra SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC c) HC CE HC.HB CE.HB SHBC Từ AFC : HEC AC CF AC.AB CF.AB SABC HB.HA S HA.HC S Tương tự: HAB ; HAC . Do đó: 0.25 AC.BC SABC AB.BC SABC HC.HB HB.HA HA.HC S S S + + = HBC HCA HAB 1 AC.AB AC.BC AB.BC SABC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có: 2 HA HB HC HA.HB HB.HC HC.HA 3. 3.1 3 0.5 BC AC AB BC.BA CA.CB AB.AC HA HB HC Suy ra 3 . BC AC AB Bài : 5 (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của vuông. Khi đó: a, b, c N và a 5; b, c 3 a 2 b2 c2 (1) 0.5 Ta có hệ phương trình: bc 3(a b c) (2) (1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c) a2 + 6a + 9 = (b + c)2 – 6(b + c) + 9 (a + 3)2 = (b + c – 3)2 a + 3 = b + c – 3 a = b + c – 6 (2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6) (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có các trường hợp sau: 1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25 2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17 0.5 3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15