Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Yên Dũng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Yên Dũng (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN YÊN DŨNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN LỚP 8 x 2 2x x2 4x 6 x2 1 Câu 1. (4 điểm) Cho biểu thức A 2 : 2 x 1 2 x x x 2 2x 4x 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Câu 2. (5 điểm) 1) Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 y2 12x 8y 15 0 2) Chứng minh: Tổng lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp chia hết cho 9. 3) Tìm đa thức H x có bậc 3 thỏa mãn: H 1 H 2 H 3 0và với mọi x luôn có H x x. f x 24 , trong đó f x là đa thức bậc 2. Câu 3. (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x 5 3 x 6 3 4x 11 3 0 2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Quãng đường từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động dài 80km.Lúc 7 giờ 10 3 phút một xe máy đi từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động. Đi được 4 quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại 32 phút để sửa, rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 5km / h.Biết xe máy đến huyện Sơn Động lúc 10 giờ 30 phút cùng ngày. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ ? Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AM ,BN,CP cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng: AMC : BNC và C· AB N· MC b) Chứng minh rằng: Tia MA là tia phân giác của N· MP c) Gọi I là giao điểm của BN và MP.Chứng minh HN.BI HI.BN Câu 5. (1 điểm) 1 1 1 1 1 Cho A với n ¥ * n 1 n 2 2n 1 2n 2 3n 1 Chứng minh rằng A 1
2. ĐÁP ÁN Câu 1. x 2 2x x2 4x 6 x2 1 1) A 2 : 2 x 1 2 x x x 2 2x 4x ĐKXĐ: x 1; x 0; x 2 x 2 2x x2 4x 6 x2 1 A : 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 4x 4x A x2 1 2 4x 2x2 2 2x2 4x 2 2 x 1 2) A 2 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 2 x 1 2 Mà 0 2 2 hay A 2 x2 1 x2 1 x 1 2 Dấu bằng xảy ra khi 0 x 1 x2 1 Vậy GTLN của biểu thức A là 2, đạt được khi x 1 Câu 2. 1) Học sinh biến đổi về phương trình x y 10 x y 2 5 Do x, y nguyên nên x y 10; x y 2 nguyên Mà 5 5.1 1.5 1. 5 5. 1 Tìm được x; y 3; 6 ; 9; 2 ; 3; 2 ; 9; 6  2) Gọi ba số là a,a 1và a 2( a nguyên dương) Ta có: a3 a 1 3 a 2 3 3a3 15a 9a2 9 Xét 3a3 15a 3a a2 5 Nếu a3thì 3a2 15a9 khi đó a3 a 1 3 a 2 39 (1) Nếu a không chia hết cho 3 thì a2 chia 3 dư 1 a2 53 3a2 15a9khi đó a3 a 1 3 a 2 39 (2) Từ (1) và (2) suy ra a3 a 1 3 a 2 39 với mọi a nguyên dương. 3) Do đa thức H (x) có bậc là 3 thỏa mãn : H 1 H 2 H 3 0 Nên H x a x 1 x 2 x 3 H 0 6a
3. Lại có H x x. f x 24 đúng với mọi x Chọn x 0 ta có: H 0 24 Nên 6a 24 a 4 Vậy H x 4. x 1 x 2 x 3 Câu 3. 1)Học sinh chứng minh được: Nếu a b c 0 thì a3 b3 c3 abc (*) 3x 5 3 x 6 3 4x 11 3 0 3x 5 3 x 6 3 11 4x 3 0 5 x 3 3x 5 x 5 11 4x 0 theo (*) x 6 11 x 4 3 2) Gọi vận tốc xe máy đi trong quãng đường đầu là x km / h (x 5) 4 1 vận tốc xe máy đi trong quãng đường cuối là x 5(km / h) 4 3 Ta có quãng đường từ thành phố Bắc Giang đến huyện Sơn Động dài 60km 4 Thời gian xe máy đi đến huyện Sơn Động (kể cả thời gian dừng là) 10 10 giờ 30 phút – 7 giờ 10 phút = 3 giờ 20 phút = h 3 60 20 32 10 Theo bài ra ta có phương trình: x x 5 60 3 x 30 (tm) 25 x (ktm) 7 Thời gian xe máy đi đến lúc hỏng xe là : 60:30 2h Vậy xe máy bị hỏng lúc 9giờ 10 phút
4. Câu 4. A N P H I B M C ¶ µ 0 a) Xét AMC và BNC có: góc C chung; M N 90 CM CA AMC : BNC CN CB CM CA Xét ABC và MNC có: ;Cµ chung CN CB ABC : MNC c.g.c C· AB N· MC b) Ta có: C· AB N· MC Chứng minh tương tự: C· AB N· MC Chỉ ra được: ·AMC ·AMB 900 ·AMN ·AMP Tia MA là tia phân giác của N· MP c) Ta có: MH là đường phân giác trong của tam giác MNI Mà MB  MH nên MB là đường phân giác ngoài của tam giác MNI MN HN BN (tính chất đường phân giác trong, ngoài tam giác) MI HI BI HN.BI HI.BN(dfcm)
5. Câu 5. 1 1 4 Ta có: với mọi a,b 0 . Dấu bằng xảy ra khi a b a b a b 1 1 1 1 1 A n 1 n 2 2n 1 2n 2 3n 1 Ta có A có 2n 1hạng tử Áp dụng BĐT trên với các cặp số đôi một khác nhau ta có: 1 1 2 n 1 3n 1 2n 1 1 1 2 n 2 3n 2n 1 Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 2 2A 2n 1 A 1(dfcm) 2n 1