Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 Câu 1. (2 điểm) a3 4a2 a 4 Cho P a3 7a2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. Câu 2. (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 b) Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 3. (2 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 b) Cho a,b,clà ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác đều ABC,gọi M là trung điểm của BC. Một góc x· My bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx,My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh: BC 2 a) BD.CE 4 b) DM ,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu 5. (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) a3 4a2 a 4 a 1 a 1 a 4 a3 7a2 14a 8 a 2 a 1 a 4 Nêu ĐKXĐ: a 1;a 2;a 4 a 1 Rút gọn P a 2 b) a 2 3 3 P 1 ;ta thấy P nguyên khi a 2 là ước của 3, mà a 2 a 2 U (3) 1;1; 3;3, từ đó tìm được a 1;3;5 Câu 2. a) Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a b chia hết cho 3. Ta có: a3 b3 a b a2 ab b2 a b a2 2ab b2 3ab a b a b 2 3ab Vì a b chia hết cho 3nên a b 2 3ab chia hết cho 3 Do vậy a b a b 2 3ab chia hết cho 9 2 b) P x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 36 2 2 Ta thấy x2 5x 0nên P x2 5x 36 36 2 x 0 Do dó MinP 36 x 5x 0 x 5
3. Câu 3. a) x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 x 5 x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2 b) Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y từ đó suy ra a ;b ;c ; 2 2 2 Thay vào ta được y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 2
4. Câu 4. y A x E 2 D 1 2 1 3 C B M µ 0 ¶ a) Trong tam giác BDM ta có: D1 120 M1 ¶ 0 ¶ 0 ¶ Vì M 2 60 nên ta có: M 3 120 M1 µ ¶ Suy ra D1 M 3 . Chứng minh BMD : CEM (1) BD CM Suy ra , Từ đó BD.CE BM.CM BM CE BC BC 2 Vì BM CM , nên ta có: BD.CE 2 4 BD MD b) Từ (1) suy ra CM EM µ ¶ · Chứng minh BMD : MED D1 D2 ,do đó DM là tia phân giác BDE Chứng minh tương tự ta có : EM là tia phân giác C· ED c) Gọi H,I,K là hình chiếu của M trên AB,DE, AC . Chứng minh DH DI,EI EK
5. Tính chu vi tam giác bằng 2AH - không đổi Câu 5. Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương) Ta có: xy 2 x y z 1 và x2 y2 z2 (2) Từ (2) suy ra z2 x y 2 2xy, thay (1) vào ta có: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4 x y z2 4z 4 x y 2 4 x y 4 z 2 2 x y 2 2 Suy ra z 2 x y 2 z x y 4; thay vào 1 ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là: x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 