Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

1. Phòng Giáo dục và đào tạo đề thi học sinh giỏi huyện huyện cẩm giàng năm học 2011 – 2012 môn: toán Lớp: 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1. (2 điểm): a) Cho a; b; c là các số dương thoả mãn: a + b + c + abc = 4 Tính Q = a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) - abc b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Câu 2. (2 điểm): a) Giải phương trình 2x2 7x 10 2x2 x 4 3(x 1) b) Cho x, y là hai số không âm thoả mãn: x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 2x 1 2y Câu 3. (2 điểm): Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m – 1. a) Tìm m để đồ thị hàm số trên song song với đường thẳng 3x – 2y = 1. b) Tìm m để đồ thị của hàm số trên cắt hai trục toạ độ và tạo với gốc toạ độ một tam giác có diện tích bằng 1/6 (đơn vị diện tích). Câu 4. (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A; AD là tia phân giác của tam giác. Cho 1 6 BD = 2 cm; CD = 2 cm. 7 7 a) Tính đường cao AH của tam giác ABC. b) Lấy E thuộc AC sao cho XE = 1cm. Gọi I là trung điểm của BE, F là giao điểm của HI và AC. Tính độ dài đoạn thẳng EF. Câu 5. (1 điểm): Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x y = 50 Hết
2. Phòng Giáo dục và đào tạo đáp án đề thi học sinh giỏi huyện cẩm giàng năm học 2011 – 2012 môn: toán Lớp: 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1. (2 điểm): a) Xét a(4 b)(4 c) = a(16 4b 4c bc) Từ giả thiết a + b + c + abc = 4 =>16- 4b - 4c = 4a + 4 abc Do đó a(4 b)(4 c) = a(16 4b 4c bc) = a(4a 4 abc bc) = a(4a 4 abc bc) = (2a abc)2 = 2a + abc Tương tự b(4 a)(4 c) = 2b + abc ; c(4 a)(4 b) = 2c + abc Vậy Q = 2(a + b + c - abc ) = 8 b) Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: b + c > a => a + b + c > 2a => 2 > 2a => a b 0; 1 – b > 0; 1 – c > 0 => (1 – a)(1 – b)(1 – c) > 0 => 1 – a – b – c – abc + ab + bc + ca > 0 => 1 – (a + b + c) + (ab + bc + ca) – abc > 0. => 1 – 2 + (ab + bc + ca) – abc > 0 => ab + bc + ca > 1 + abc. (1) Ta có 4 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) => a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4 (2) Từ (1) và (2) => 4 > a2 + b2 + c2 + 2(1 + abc) => a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 (đccm) Câu 2. (2 điểm): a) 2x2 7x 10 2x2 x 4 3(x 1) (1) 2 2 2 7 31 2 1 31 2x 7x 10 2 x 0, 2x x 4 2 x 0,x Ă 4 8 4 8 - Nếu x 1 0 x 1 thì VP(1) 0, VT(1) 0 (không thoả mãn) - Nếu x 1 0 x 1 thì (1) 6x 6 3 x 1 2x2 7x 10 2x2 x 4 2x2 7x 10 2x2 x 4 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 2x2 x 4 3x 1
3. 1 1 3x 1 0 x x x 3 2 2 3 3 4(2x x 4) 9x 6x 1 2 x 2x 15 0 x 3, x 5 Thử lại, với x = 3 thì VT(1) = VP(1) = 12 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 b) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (x + y)2 ≤ (12 + 12)(x2 + y2) = 2.2 =4 => x + y ≤ 2 ( vì x; y≥ 0) (1) Ta có: A = 1 2x 1 2y > 0 với mọi x; y≥ 0. Nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: A2 = ( 1 2x 1 2y )2 ≤ (12 + 12)(1 + 2x + 1 + 2y) = 2(2 + 2x + 2y) = 4(1 + x + y) (2) Từ (1) và (2) => A2 ≤ 4(1 + 2) = 12 => A ≤ 2 3 (vì A > 0) x y 0 Dấu “=” xảy ra 1 2x 1 2y x = y = 1. 2 2 x y 2 Vậy MaxA = 2 3 khi x = y = 1. Câu 3. (2 điểm): 3 1 a) Ta có 3x – 2y = 1 y = x - 2 2 Đồ thị hàm số y = (m + 2)x + 2m – 1 song song với đường thẳng 3x – 2y = 1 hay 3 1 m 2 m 3 1 2 2 y = x - m = -1/2. 2 2 1 1 2m 1 m 2 4 b) Đồ thị hàm số y = (m + 2)x + 2m – 1 cắt hai trục toạ độ tạo thành với gốc toạ độ m 2 m 2 0 một tam giác 1 2m 1 0 m 2 Với x = 0 => y = 2m – 1 => điểm A(0; 2m-1) 1 2m 1 2m Với y = 0 => x = => điểm B( ;0) m 2 m 2 => Đồ thị hàm số y = (m + 2)x + 2m – 1 cắt hai trục toạ độ tại hai điểm là: 1 2m A(0; 2m-1); B( ;0) m 2 1 2m => OA = 2m 1 , OB = m 2 Lại có S ABO = OA.OB:2 = 1/6 1 2m OA.OB = 1/3 2m 1 = 1/3 3(2m-1)2 = m 2 (*) m 2 Ta có 3(2m-1)2≥ 0 với mọi m
4. m 1 *TH1: m> -2 thì (*) 12m2 -12m + 3 = m+2 1 (Đều thoả mãn đk) m 12 11 119 m 24 *TH2: m AB2:9=AC2:16=(AB2+AC2):(9+16) F = BC2:25 = 25:25=1 => AB = 3, AC = 4 Theo hệ thức lượng trong tam I giác vuông ABC : B E BC.AH = AB.AC H C => AH = 3.4:5 = 2,4(cm) D b) Lấy trung điểm M của BC=> MI là đường trung M bình của tam giác BCE. => IM = EC:2 = 0,5 (tính chất) Lại có MB = MC =BC:2 = 2,5 Mặt khác AB BH H nằm giữa B và M Và BH =AB2 : BC = 1,8 (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC) => HM = BM – BH = 0,7 Xét HCF có IM//FC ( vì IM//EC) => HM: HC = IM:FC (hệ quả của định lí Talet) Do HM = 0,7, IM = 0,5, HC = BC – BH = 5- 1,8 = 3,2 => FC = HC.IM:HM = 3,2.0,5:0,7 = 16/7 => EF = FC – EC = 9/7 (cm). Câu 5.(1điểm): Đk: x; y Z, x; y ≥0 Ta có x y 5 2 => x , y là các căn đồng dạng với 5 2 đặt x = a 2 ; y = b 2 ( a; b là các số nguyên không âm) Ta được: a + b = 5 => (a; b) = (0;5); (1;4); (2;3); (3;2) (4;1); (5;0) => (x;y) = (0;50); ( 2; 32); (8; 18); ( 18;8); (32;2); (50;0) (thoả mãn điều kiện)