Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu 1. (2,0 điểm) x 2 x 1 x 1 1) Rút gọn biểu thức: P với x ≥ 0 và x ≠ 1 x x 1 x x 1 x 1 4 2 2) Cho a2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P = a a 1 a2 Câu 2. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2 2x 1 x2 6x 9 1 2) Giải bất phương trình: 2x3 – 5x2 + 5x – 3 0. Chứng minh: y 2 z 2 x 2 y z x Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh: Họ và tên giám khảo: . Chữ ký:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Biểu Câu Phần Đáp án điểm x 2 x 1 x 1 P x x 1 x x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 0,25 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 x 2 ( x 1)( x 1) x x 1 1 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) 0,25 x 2 x 1 x x 1 x x ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) 1 x( x 1) x ( x 1)(x x 1) x x 1 0,25 x Vậy với x ≥ 0 và x ≠ 1, thì P = 0,25 x x 1 Ta thấy a 0, vì nếu a = 0 thì 1 = 0 (vô lý) 0,25 Nên, từ a2 - 4a + 1 = 0 a2 + 1 = 4a 1 1 1 a 4 a2 14 a2 1 15 2 a a2 a2 0,25 a4 a2 1 1 P a2 1 15 0,25 a2 a2 0,25 Vậy P = 15 ( x2 2x 1 x2 6x 9 1 x 1 2 x 3 2 1 x 1 x 3 1 0,25 Xét 3 trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu x 0 và x – 3 0, PT có dạng: 0,25 x - 1 + x - 3 = 1 2x = 5 x = 2,5 (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 0,25
3. 2x3 – 5x2 + 5x – 3 < 0 2x3 3x2 2x2 3x 2x 3 < 0 x2 2x 3 x 2x 3 2x 3 < 0 2x 3 x2 x 1 < 0 (1) 0,25 2 2 1 3 3 2 2 Vì x x 1 x Với mọi giá trị của x 2 4 4 0,25 Nên (1) 2x 3 < 0 3 x < 0,25 2 3 Vậy x < 0,25 2 x 1 y 4 Víi ®iÒu kiÖn x 1, y 4 ta cã: M = x y 1 x 1 x x 1 1 Ta cã: x 1 1 x 1 (Cô Si) 2 2 x 2 0,25 1 1 4 y 4 y y 4 1 1 Vµ: y 4 4 y 4  (Cô Si) 0,25 2 2 2 4 y 4 x 1 y 4 1 1 3 Suy ra: M = 0,25 x y 2 4 4 3 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M lµ x = 2, y = 8. 0,25 4 3 2x2 y 2 4x 4 2xy 2 2 2 (x 2) (y x) 8(1) (x 2) 8 x 2 8 0,25 Vì x + 2 là số nguyên, nên ta có bảng sau: x + 2 - 2 - 1 0 1 2 2 x - 4 - 3 - 2 - 1 0 (y-x)2 4 7 8 7 4 0,25 Lo¹i Lo¹i Lo¹i Víi x = -4 vµ (y- x)2 = 4 ta ®­îc y =-2 hoÆc y = -6 (TM) Víi x = 0 vµ (y-x)2 = 4 ta ®­îc y = 2 hoÆc y= -2 (TM) 0,25 VËy (x;y) = (-4;-2); (-4;-6) ; (0;2); ( 0; -2) 0,25 A B 0,25 4 N M I K D E C G 1 + Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE 0,25
4. + Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE  KM 0,25 + Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với 0,25 nhau nên MNKE là hình thoi. + Từ tính chất hình vuông có  ACK = 45 0. 0,25 2 + Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra (ĐPCM.) 0,25 + Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nên EK = 0,25 MB + ED. 3 + Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của 0,25 MK do đó ME = EK. + Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a. 0,25 + Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó 1 1 1 1 = . (1) AM 2 AG 2 AK 2 AG 2 0,25 4 Tam giác AKG vuông tại A, đường cao AD nên ta có 1 1 1 1 (2) AK 2 AG2 AD2 a2 0,25 1 1 1 Từ (1), (2) suy ra không phụ thuộc vào vị trí điểm M AM 2 AG2 a2 0,25 x y z Áp dụng định lý CoSi ta có: 3 (1) y z x 0,25 Áp dụng định lý Bunhiacopxky ta có: x2 y2 z2 x y z x y z x y z ( )(12+12+12) ( )2 = ( )( ) (2) 0,25 5 y2 z2 x2 y z x y z x y z x x2 y2 z2 x y z Từ (1) và (2) suy ra: 0,25 y2 z2 x2 y z x Dấu "=" xảy ra khi x = y = z 0,25