Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Gia Lộc (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Gia Lộc (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN GIA LỘC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu 1. (2,0 điểm) x2 x 2x x 2 x 1 1) Rút gọn biểu thức: P = ; x 0, x 1 x x 1 x x 1 2) Cho x và y là hai số thỏa mãn: x x2 5 y y2 5 5 . Hãy tính giá trị của biểu thức M = x2015 y2015 Câu 2. (2,0 điểm) x 3 1) Giải phương trình: x 2 x 1 x 2 x 1 2 2) Giải bất phương trình: 2x 3 x 4 0 Câu 3. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: xy 2x 2y 1 2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n n 1 n 2 n 3 1 là số chính phương. Câu 4. (3,0 điểm) 1) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Trên Ax và By lần lượt lấy 2 điểm C và D sao cho C· OD 900 a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB tại tiếp điểm E b) Chứng minh AC.BD không đổi c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ E đến đường kính AB. Chứng minh CB cắt EH tại trung điểm I của EH. 2) Trên hai cạnh AC, BC của tam giác đều ABC, lấy tương ứng hai điểm M, N sao cho MA = CN. Tìm vị trí của M để MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi cạnh của tam giác đều là 2014 cm. Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : x + y + z = 2016. Tìm giá trị lớn nhất của x y z biểu thức: A x 2016x yz y 2016y zx z 2016z xy Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh: Họ và tên giám khảo: . Chữ ký:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM GIA LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Biểu Câu Phần Đáp án điểm x x 1 x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 1) P = x x 1 x x 1 1 = x x 1 2 x 1 2 x 1 1,0 = x x 2 x 1 2 x 2 = x x 1. + Nhân 2 vế của x x2 5 y y2 5 5 (1) với x x2 5 ta được: x x2 5 x x2 5 y y2 5 5 x x2 5 2 2 2 2 1 x x 5 y y 5 5 x x 5 5 y y2 5 5 x x2 5 2 2 2 y y 5 x x 5 (2) 0,25 + Tương tự nhân 2 vế của (1) với y y2 5 ta được: x x2 5 y y2 5 (3) 0,25 + Cộng vế với vế của (2) và (3) ta được: y y2 5 x x2 5 x x2 5 y y2 5 2x 2y 0 2 x y 0 x y 0 x y 0,25 Vậy M = x2015 y2015 = 0. 0,25 Điều kiện để phương trình xác định là: x 1 0,25 - Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 x 3 x 3 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 (*) 2 2 0,25 + Nếu x 1 1 0 x 2 thì phương trình (*) trở thành: x 3 x 3 2 1 x 1 1 x 1 1 2 x 1 2 2 2 4 x 1 x 3 16 x 1 x 6x 9 0,25 x2 10x 25 0 x 5 2 0 x 5 ( thỏa mãn điều kiện x 2) + Nếu x 1 1 0 1 x 2 thì phương trình (*) trở thành:
3. x 3 x 3 0,25 x 1 1 x 1 1 2 2 2 0,25 x 3 4 x 1, thỏa mãn điều kiện 1 x 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x = 5 và x = 1 2x 3 x 4 0 (1). ĐK: x 4 0,25 - Nếu x = - 4 thì bất phương trình (1) đúng - Nếu x > - 4 thì bất phương trình (1) tương đương với: 0,25 2 2 3 2x 3 0 x (thỏa mãn điều kiện) 0,25 2 3 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=-4 hoặc x 0,25 2 xy 2x 2y 1 y 2 x 1 2y(1) Nếu y = -2 thì phương trình (1) vô nghiệm 0,25 Nếu y khác -2 ta có: 1 2y 5 1 y 2 x 1 2y x 2 y 2 y 2 0,25 Vì x là số nguyên nên y + 2 là ước của 5 3 Do đó : y 2 1; 1;5; 5 y 1; 3;3; 7 x 3; 7; 1; 3 0,25 Vậy phương trình có 4 nghiệm là: (-1;3);(-3;-7);(3:-1);(-7;-3) 0,25 A n n 1 n 2 n 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n 3n n 3n 2 1 n 3n 2 n 3n 1 n 3n 1 0,75 Vì n N n2 3n 1 N nên A là số chính phương 0,25 F D E N C 0,25 I A B H O 4 Lấy điểm N là trung điểm của CD=> NO là đường trung bình của hình thang ABDC => NO vuông góc với AB. Tam giác CDO vuông tại O có ON là đường trung tuyến nên NO = NC => N· CO C· ON (1) o 0,5 Ta có: ·ACO C· ON +·AOC 90 (2) Từ (1) và (2) => ·ACO E· CO => CO là phân giác của góc ACE Giả sử OE là khoảng cách từ O đến CD => OA=OE Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB · · Xét 2 tam giác vuông V OBD và V CAO ta có BOD ACO (cùng phụ 0,5 với góc ACO)
4. Do đó V OBD đồng dạng với tam giác V CAO OB BD => BD.AC OA.OB R2 AC AO Vậy BD.AC không đổi Ta có V CAE cân tại C lại có CO là phân giác của góc ACO nên CO  AE. Mặt khác BE  AE( E thuộc đường tròn đường kính AB) => OC//BE mà OA=OB nên CA = CF IH BI Do IH //CA theo hệ quả định lý Ta-lét ta có (1) CA BC 0,75 EI BI Dó EI //CF theo hệ quả định lý Ta -let ta có (2) CF BC IH EI Từ (1) và (2) => mà CA = CF => IH = EI CA CF Vậy I là trung điểm của EH B H G N K A C M Kẻ MK  AB; NH  AB;MG  NH Tứ giác MGHK là hình chữ nhật MG KH Mà MN MG MN KH Các tam giác AKM, BHN là các tam giác vuông có một góc nhọn 1 1 bằng 60o nên AK AM ; BH BN . 2 2 Do đó: AM BN KH AB AK BH AB 2 2 CN BN BC AB AB AB 2 2 2 2 AB MN 2 AB 2014 Vậy min MN 1007 cm 2 2 MN là đường trung bình của tam giác ABC hay M là trung điểm của cạnh AC. 2 Từ x yz 0 x2 yz 2x yz (*) Dấu "=" khi x2 = yz 0,25 5 Ta có: 2016x yz x y z x yz x2 yz x(y z) x(y z) 2x yz
5. Suy ra: 2016x yz x(y z) 2x yz x( y z) (áp dụng (*)) 0,25 x x x 2016x yz x x y z (1) x 2016x yz x y z y y Tương tự ta có: (2) y 2016y zx x y z z z (3) z 2016z xy x y z Từ (1),(2),(3) ta có: x y z 1 x 2016x yz y 2016y zx z 2016z xy 0,25 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 672 Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x=y=z=672 0,25