Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

1. Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §Ò thi chän häc sinh giái huyÖn huyÖn Kim Thµnh Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) 3 10 6 3 3 1 2009 1/ Cho x . Tính P x3 4x 1 6 2 5 5 x x 2 x 3 x 2 2/ Cho biểu thức : A 1 : x 1 x 5 x 6 x 2 3 x 5 a/ Rút gọn A; b/ So sánh A và 2 Bài 2: (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình : 2 x2 2x 3 5 x3 3x2 3x 2 2/ Một thầy giáo còn trẻ dạy môn Toán, khi được hỏi bao nhiêu tuổi đã trả lời như sau : “Tổng, tích, hiệu, thương của tuổi tôi và đứa con trai của tôi cộng lại là 216”. Hỏi thầy giáo bao nhiêu tuổi? Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng : 1 (d ): y 3x 6; (d ): y x 1; (d ): y 2x 4 1 2 2 3 Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2 ); B là giao điểm của (d2 ) và (d3 ) ; C là giao điểm của (d3 ) và (d1) . 1/ Vẽ (d1) ; (d2 ); (d3 ) . Tìm tọa độ của A, B, C; 2/ Tính diện tích của tam giác ABC. Bài 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tia Ax vuông góc với AB (tia Ax và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Lấy một điểm C bất kì thuộc nửa đường tròn (C khác A và B). Qua O kẻ một đường thẳng song song với BC cắt tia Ax tại M và cắt AC tại F. 1/ Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O; 2/ Biết bán kính của đường tròn là 5cm, dây AC = 8cm. Tính MB; 3/ BM cắt nửa đường tròn tại D. Chứng minh MDF đồng dạng với MOB. Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x y z 2 . x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A y z z x x y HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : ; Số báo danh : .
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi : Toán - Lớp 9 Bài 1 : (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Biến đổi : 3 3 10 6 3 3 1 3 10 6 3 3 1 3 10 6 3 6 3 10 x 2 5 1 5 6 2 5 5 5 1 5 3 108 100 3 8 2 1/ 1 0,25đ (0,75đ) 2009 Thay x 2 vào biểu thức P x3 4x 1 , ta được : 2009 P 23 4.2 1 12009 1 3 0,25đ 10 6 3 3 1 Vậy khi x thì P 1 6 2 5 5 0,25đ ĐKXĐ : x 0;x 4;x 9. Khi đó, ta có : x x 2 x 3 x 2 A 1 : x 1 x 5 x 6 x 2 3 x x 1 x x 2 x 3 x 3 x 2 x 2 A : 0,25đ 2/a/ x 1 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 (0,75đ) x 1 x x 2 x 9 x 4 A : 0,25đ x 1 x 2 x 3 1 x 3 1 1 x 2 A : : x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 0,25đ Với x 0;x 4;x 9. Ta có : 5 x 2 5 2 x 4 5 x 5 7 x 1 7 x 1 0 2/b/ A 0 vì 0,25đ 2 x 1 2 2 x 1 0 (0,5đ) 2 x 1 2 x 1 5 5 Do A 0 A 0,25đ 2 2
3. Bài 2 : (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm ĐKXĐ : x 2. 0,25đ Khi đó, ta có : 2 x2 2x 3 5 x3 3x2 3x 2 2 x2 2x 3 5 x 2 x2 x 1 Đặt a x 2;b x2 x 1 (a;b 0). Phương trình đã cho trở thành : 2 a2 b2 5ab 2a2 5ab 2b2 0 2a2 ab 4ab 2b2 0 b 2a a 2a b 2b 2a b 0 2a b a 2b 0 0,25đ a 2b *) Trường hợp 1 : b 2a b2 4a2 x2 x 1 4 x 2 x2 3x 7 0 1/ 2 2 (1,0đ) 3 37 3 37 x 0 x 2 4 2 4 3 37 3 37 x x (thỏa mãn) 0,25đ 2 2 2 *) Trường hợp 2 : a 2b a2 4b2 x 2 4 x2 x 1 4x2 3x 2 0 2 3 23 2x 0 (phương trình vô nghiệm) 4 16 0,25đ 3 37 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2 Gọi x, y lần lượt là tuổi của thầy giáo và tuổi của con thầy giáo (x, y nguyên dương; x > y) 0,25đ Theo đề bài, ta có phương trình : x x x y x y xy 216 2x xy 216 (*) y y 0,25đ x 2/ Đặt t (t N* ) , phương trình (*) trở thành : (1,0đ) y 2 2ty ty2 t 216 t y 1 216 2 2 y 1 là ước của 216 y 1 4;9;36 0,25đ Từ đó, suy ra cặp nghiệm x;y phù hợp là 30;5 0,25đ Vậy tuổi của thầy giáo là 30 tuổi.
4. Bài 3 : (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm *) Hàm số : y 3x 6 (d1) )x 0 y 6 M(0;6) )y 0 x 2 N(2;0) Đồ thị hàm số là đường thẳng MN 0,25đ 1 *) Hàm số : y x 1 (d ) 2 2 )x 0 y 1 P(0; 1) )y 0 x 2 Q(2;0) 0,25đ Đồ thị hàm số là đường thẳng PQ *) Hàm số : y 2x 4 (d3 ) )x 0 y 4 E(0;4) )y 0 x 2 F( 2;0) Đồ thị hàm số là đường thẳng EF 0,25đ *) Vẽ : 1/ (1,5đ) 0,25đ
5. *) Tìm tọa độ của A, B, C: +) Theo cách vẽ dễ thấy A trùng với N và Q A(2;0) +) Hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình : 1 10 8 x 1 2x 4 x 2 4x 8 3x 10 x y 2 3 3 10 8 B ; 0,25đ 3 3 +) Hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình : 2 24 2 24 0,25đ 3x 6 2x 4 5x 2 x y C ; 5 5 5 5 Ta có : AF 4 24 1 24 48 +) CAF có chiều cao ứng với AF là S .4. (ñvdt) 5 CAF 2 5 5 2/ 8 1 8 16 (0,5đ) +) BAF có chiều cao ứng với AF là S .4. (ñvdt) 0,25đ 3 BAF 2 3 3 48 16 224 Vậy diện tích ABC là : (ñvdt) 0,25đ 5 3 15 Bài 4 : (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Vẽ hình đúng; ghi giả thiết, kết luận đúng 0,25đ ABC có AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ABC vuông tại C AC  BC 1/ Do MO // BC MO  AC F là trung điểm của AC (0,75đ) OM là đường trung trực của AC 0,25đ MA MC Xét MAO và MCO có :
6. MO chung MA MC OA OC MAO MCO (c.c.c) 0,25đ M· CO M· AO 900 MC  OC MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O 0,25đ AC 8cm AF 4cm 0,25đ +) MAO vuông tại A có đường cao AF 1 1 1 1 1 9 400 20 MA2 MA (cm) 2/ MA2 AF2 AO2 42 52 400 9 3 0,5đ (1,0đ) +) MAB vuông tại A 2 2 2 2 2 20 1300 10 13 0,25đ MB AB MA 10 MB (cm) 3 9 3 +) Chứng minh MDA và MAB đồng dạng MD MA MD.MB MA2 MA MB 0,25đ 3/ +) Chứng minh MA2 MF.MO 0,25đ (1,0đ) MD MO +) Do đó : MD.MB MF.MO 0,25đ MF MB +) Chứng minh MDF đồng dạng với MOB (c.g.c) 0,25đ Bài 5 : (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Vì x, y, z dương. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có : x2 y z x2 y z +) 2. . x (1) y z 4 y z 4 2 x y z 2 Dấu “=” xảy ra 4x2 y z 2x y z y z 4 y2 z x y2 z x +) 2. . y (2) z x 4 z x 4 2 y z x 2 Dấu “=” xảy ra 4y2 z x 2y z x z x 4 z2 x y z2 x y +) 2. . z (3) x y 4 x y 4 2 z x y 2 Dấu “=” xảy ra 4z2 x y 2z x y 0,5đ x y 4 Cộng theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2) và (3) ta có :
7. x2 y2 z2 y z z x x y x y z y z z x x y 4 4 4 x2 y2 z2 x y z 1 y z z x x y 2 2x y z 2y z x 0,5đ 2 Dấu “=” xảy ra 2z x y x y z 3 x y z 2 x;y;z 0 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x y z 3 HẾT