Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án và thang điểm)

1. Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §Ò thi chän häc sinh giái huyÖn huyÖn Kim Thµnh Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) x 2 x 2 Cho biểu thức: P x x x 2 x ( x 1)(x 2 x) a. Rút gọn P . b. Tính P khi x 3 2 2 . c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2,0 điểm) a.Giải phương trình x2 2x x x 2 x 4 0 b. Cho hàm số: y x 2m 1; với m tham số. Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. 2 H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của m để OH 2 Bài 3: (2,0 điểm) a. Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y2 2xy 3x 2 0 b. Tìm số tự nhiên n để: A n2012 n2002 1 là số nguyên tố. Bài4: (3,0 điểm) a.(1 điểm) Cho tam giác ABC. Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N.Chứng minh: BM = CN: b. (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO. Chứng minh: a) EG // AB b) OE  CD 3 c) SDAC + SBDO = SABC 4 Bài5: (1,0 điểm) 3 1 x 1 1 3 2x x Cho x 1; y 0 , chứng minh: 3 3 3 (x 1) y y x 1 y HẾT ( Đề thi gồm có 1 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh ; Số báo danh 1
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán- Lớp 9 . Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm x 2 x 2 0,25 P x( x 1) x( x 2) x( x 1)( x 2) x( x 2) 2( x 1) x 2 x x 2x 2 x 2 x 2 0,25 a x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) x x 2x 2 x x x( x 1)( x 2) ( x 1) x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) ( x 1) 0.5 1 x 3 2 2 x 2 2 2 1 ( 2 1)2 2 1 0.25 2,0 b ( x 1) 2 1 1 2 2 P 1 2 ( x 1) 2 1 1 2 0.25 ( x 1) x 1 2 2 0.25 ĐK: x 0; x 1: P 1 ( x 1) x 1 x 1 c Học sinh lập luận để tìm ra x 4 hoặc x 9 0.25 ĐK: x 0 . Nhận thấy: x 0 không phải là nghiệm của phương 0.25 trình, chia cả hai vế cho x ta có: 2 4 4 2 x2 2x x x 2 x 4 0 x 2 x 0 (x ) ( x ) 2 0 x x x x 0.25 2 4 4 Đặt x t 0 t 2 x 4 x t 2 4, 0.25 x x x 2 a thay vào ta có: 2 2 t 3 (t 4) t 2 0 t t 6 0 (t 3)(t 2) 0 0.25 t 2 Đối chiếu ĐK 2 x 4 t 3 x 3 x 3 x 2 0 ( x 2)( x 1) 0 x x 1 2
3. Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A 2m 1;0 2,0 Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B 0; 2m 1 0,5 b Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: 1 1 1 1 1 2 m 0 Hay 2 2 OH 2 OA2 OB2 x2 y2 (2m 1)2 m 1 A B 0,5 y2 2xy 3x 2 0 x2 2xy y2 x2 3x 2 (x y)2 (x 1)(x 2) 0,25 (*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. 0.25 a x 1 0 x 1 y 1 0,25 x 2 0 x 2 y 2 Vậy có 2 cặp số nguyên (x; y) ( 1;1) hoặc (x; y) ( 2;2) 0,25 2.0 3 Xét n 0 thì A = 1 không phải nguyên tố; n 1 thì A = 3 nguyên 0.25 tố. Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1 = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 0.25 3 670 3 3 670 2 b Mà (n ) – 1) chia hết cho n -1, suy ra (n ) – 1) chia hết cho n + n + 1 0,25 Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1 Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần 0,25 tìm n = 1. 3
4. A P N B D C M K Chứng minh: BM = CN Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P 1 AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường 0,25 phân giác) AM = AN (1) BP//MN nên BP  AK.Tương tự ABP cân tại A AB = AP (2) 0,25 BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4) Trong BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP N là trung 0,25 điểm 4 của CP hay NP = NC (5). Từ (4),(5) BM = CN 0,25 A 3.0 M E D N G C B O 2 a) Chứng minh EG //AB: Kẻ các đường trung tuyến CM, DN của ADC chúng cắt nhau ở E Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng 0,25 tâm ABC 4
5. CE CG 2 Xét MCD, ta có: EG // DM hay EG // AB 0,25 CM CD 3 b) Chứng minh OE  CD : OD  AB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB) 0,25 Mà EG // AB nên EG  OD (1) ABC cân tại A OG  BC, mà BC // DN nên OG  DN (2) Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ODE, do đó OE  DG 0,5 hay OE  CD 3 c) Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC: 4 1 1 1 1 1 1 S OC OA BC OA OA.BC 0,25 ODC 2 2 2 2 2 8 1 OA.BC S , ` ABC 2 4 S 1 ODC OA.BC 8 1 0,25 Vậy SABC = 4 SODC hay SODC = SABC 4 1 3 Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 0,25 4 4 1 x 1 1 x 1; y 0 x 1 0; y 0 0; 0; 0 0,25 (x 1)3 y y3 Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 1 1 1 3 1 1 3. 3 .1.1 2 (1) (x 1)3 (x 1)3 (x 1)3 x 1 3 3 3 x 1 x 1 x 1 3(x 1) 5 1 1 33 .1.1 2 (2) 1.0 y y y y 1 1 1 3 0,5 1 1 3.3 .1.1 2 (3) y3 y3 y3 y 5
6. 3 1 x 1 1 3 3(x 1) 3 0,25 3 3 6 (x 1) y y x 1 y y Từ (1); (2); (3): 3 1 x 1 1 3 6x 6 3x 3 2x x 3 3 3( ) (x 1) y y x 1 y x 1 y Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa 6