Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Gio Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Gio Sơn (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS GIO SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOAN 9 Thời gian:150 phút Câu 1: (6 đ). Cho biểu thức: x x 3 2( x 3) x 3 P = x 2 x 3 x 1 3 x a)Rút gọn P. b)Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2 (4đ) a )Giải phương trình x 1 4 x 5 + 11 x 8 x 5 = 4 1 1 b) Cho 2 số dương x, y có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + x y Câu 3.(4đ) a. Cho các số dương a, b, c thoả mản a + b + c = 4. Chứng minh: a b b c c a 4 . b. Cho (x+ x 2 3 )(y+ y 2 3 ) = 3. Tìm giá trị của biểu thức P = x + y Câu 4( 3 đ ): Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. A a Chứng minh rằng: Sin 2 2 bc Câu 5 : ( 3đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là một điểm trên cạnh BC . Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thyawngr qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh : a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi . b) AEF ~ CAF vàAF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.
2. Đáp án và biểu điểm Câu 1.( 6đ) Điều kiện xác định của biểu thức P là : x 0; x 9 (0,5 ). a) Rút gọn: x x 3 2( x 3) x 3 P = ( x 1)( x 3) x 1 x 3 x x 3 2( x 3) 2 ( x 3)( x 1) = (0,5 ). ( x 3)( x 1) x x 3 2x 12 x 18 x 3 x x 3 = (0,5 ). ( x 3)( x 1) x x 3x 8 x 24 x(x 8) 3(x 8) x 8 = = = (0,5 ) ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) x 1 b) x = 14 - 6 5 = ( 5 )2 - 2.3. 5 + 9 = ( 5 - 3)2 x = 3 - 5 (1,0 ). 14 6 5 8 22 6 5 58 2 5 Khi đó P = = = (0,5 ). 3 5 1 4 5 11 58 2 5 Vậy với x = 14 - 6 5 th× P = (0,5 ). 11 c) x 8 x 1 9 9 9 P= x 1 x 1 2 2 9 2 4 (1 ). x 1 x 1 x 1 x 1 9 ( Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương x 1; ) x 1 9 Dấu"=" xảy ra x 1 x = 4 (thoả mản điều kiện) (0,5 ). x 1 Vậy minP = 4, khi x = 4. 3 0,5 Câu 2(4đ) a, x 1 4 x 5 + 11 x 8 x 5 = 4 x 5 4 x 5 4 + x 5 2.4 x 5 16 = 4 (0,5 ) (2 x 5)2 + (4 x 5)2 =4 (0,5 ) 2 x 5 + 4+ x 5 = 4 (x 5) 2 x 5 = -2 Vô lý (0,5 ) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm (0,5 ) b, 1 1 x y 5 A = (0,5 x y xy xy Để A nhỏ nhất xy lớn nhất với x > 0; y > 0 ; x + y = 5 ta luôn có ( x y ) 2 0
3. x + y 2 xy Vậy xy lớn nhất khi x = y =2,5 (1 ) 4 Khi đó Min A = (0,5 ) 5 Câu 3.(4đ) a),. Do a , b, c > 0 và từ giả thiết ta có : a + b a b 2 a b 2 a b (1 ) 0,5 Tương tự ta có b + c -(y+ y 2 3 ) = (x- x 2 3 ) (2) Nhân 2 vế của (1) với (y- y 2 3 ) 0 ta được: -3(x+ x 2 3 ) = 3(y- y 2 3 ) 0,5 -(x+ x 2 3 ) = (y- y 2 3 ) (3) Lấy (2) cộng với (3) ta được: 0,5 -(x+y) = x+y => x+y = 0 Vậy A = x+y = 0 0,5 Câu 4 3đ) Kẻ Ax là tia phan giác của góc BAC, kẻ BM  Ax và CN  Ax 0,5 Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:
4. A BM A Sin MAB = Sin => BM = c.sin 0,5 2 AB 2 A CN A SinNAC = sin = => CN = b.sin 0,5 2 AC 2 A Do đó BM + CN = sin (b+c) 2 Mặt khác ta có BM + CN BD + CD = BC = a 0,5 A A => sin (b+c) a, và sin < 1 0,5 2 2 1 1 Do b+c 2 bc nên 0,5 b c 2 bc A a Hay sin ( đpcm) 2 2 bc Câu 5 (3,đ): a)(1đ) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF AEF vuông cân tại A nên AI  EF . IEG = IEK (g.c.g) IG = IK . Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc nên EGFK là hình thoi b)(1 đ) Ta có : KAF = ACF = 450 , ggóc F chung AF KF AKI ~ CAF (g.g) AF 2 KF.CF CF AF c)(1 đ)Tứ giác EGFK là hình thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( không đổi) .