Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Vòng 1 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Tam Dương (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Vòng 1 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Tam Dương (Có đáp án và thang điểm)

1. UBND HUYỆN TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 VÒNG 1 PHÒNG GD&ĐT Năm học: 2011-2012 Môn: Toán. ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi này gồm 01 trang Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1: (2,5 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: A x3 y3 3(x y) 2011 Biết rằng: x 3 3 2 2 3 3 2 2 ; y 3 17 12 2 3 17 12 2 b) Rút gọn biểu thức: 1 1 1 1 S + + 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2012 2011 2011 2012 Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình: x2 4 x 3 3x 6 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x4 3x 2 1 y4 Câu 3: (2 điểm) 1 1 1 1 a) Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thoả mãn: . a b c abc Chứng minh rằng: P (1 a2 )(1 b2 )(1 c2 ) là một số hữu tỉ. b) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a b c 2 abc 1. Chứng minh biểu thức: B a(1 b)(1 c) b(1 c)(1 a) c(1 a)(1 b) abc 2011 là hằng số. Câu 4: (2,5 điểm) Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm D, E, F. Đường tròn tâm O’ bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC tại P và phần kéo dài của các cạnh AB, AC tương ứng tại các điểm M, N. BC CA AB a) Chứng minh rằng: BP và BP = CD. 2 b) Trên đường thẳng MN ta lấy các điểm I và K sao cho CK // AB, BI // AC. Chứng minh rằng: BICE là hình bình hành. c) Gọi (S) là đường tròn đi qua 3 điểm I, K, P. Chứng minh rằng: (S) tiếp xúc với các đường thẳng BC, BI, CK. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm và abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2 HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh SBD:
2. UBND HUYỆN TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 PHÒNG GD&ĐT KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG 1 Năm học: 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2,5 điểm) Câu Nội dung trình bày Điểm a) Ta có (1,5đ) 3 x3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3.3 3 2 2.3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 0,5 6 3x 3 y3 3 17 12 2 3 17 12 2 0,5 3 3 3 3 17 12 2 17 12 2 3. 17 12 2. 17 12 2 17 12 2 17 12 2 0,5 34 3y Khi đó A = 6 + 3x + 34 + 3y – 3(x + y) + 2011 = 2051 b) b) Ta có: 1 1 (1đ) (n 1) n n n 1 n(n 1) n n 1 0,5 n 1 n n 1 n 1 1 n(n 1) n n 1 n 1 n n(n 1) n n 1 Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 S + 1 2 2 3 3 4 2011 2012 1 0,25 S 1 2012 Câu 2: (2 điểm) Câu Nội dung trình bày Điểm a)(1đ) §iÒu kiÖn: x 3 0,25 Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi 2 x2 2x 1 x 3 4 x 3 4 x 1 2 x 3 2 0,25 x 1 x 3 2 x 1 x 3 1 x 1 2 x 3 x 3 3 x 2 x 1 0 x 1 0,25 1 x 1 Ta cã 2 2 (tho¶ m·n) x 1 x 3 x x 2 0
3. 0,25 3 x 0 x 3 2 x 1 2 2 (tho¶ m·n) x 3 3 x x 7x 6 0 VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x = 1. b)(1đ) - Nếu x = 0 thì y = 1, -1 0,25 - Nếu x ≠ 0, ta có x4 2x 2 1 x4 3x 2 1 y4 x4 4x 2 4 0,5 Hay (x 2 1)2 x4 3x 2 1 (y2 )2 (x 2 2)2 (loại) Vậy PT có 2 nghiệm nguyên (x, y) là (0; 1), (0; -1) 0,25 Câu 3: (2 điểm) Câu Nội dung trình bày Điểm a)(1đ) Từ đề bài suy ra ab + bc + ca = 1 0,25 Ta có 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) 1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(a + b) 1 + c2 = ab + bc + ca + c2 = (c + a)(b + c) 0,25 2 Do đó P (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) 0,25 Vì a, b, c là số hữu tỉ nên P là số hữu tỉ 0,25 b)(1đ) Theo bài ra ta có a b c 2 abc 1 a 2 abc 1 b a 0,25 Do đó a(1 b)(1 c) a(1 b c bc) a(a 2 abc bc) (a abc)2 a abc Tương tự b(1 c)(1 a) b abc 0,5 c(1 a)(1 b) c abc 0,25 Khi đó B a b c 3 abc abc 2011 a b c 2 abc 2011 2012 Câu 4: (2,5 điểm) Câu Nội dung trình bày Điểm a)(1đ) A F E .O B D C P M I N O’. K Ta có 2BP = 2BM = 2AM – 2AB = AM + AN – 2AB = AB + BM +AC + CN – 2AB
4. = AB + BP + CP + AC – 2AB 0,5 = BC + CA – AB Tương tự 2CD = CD + CE = CB – DB + CA – EA = CB + CA – FB – FA = CB + CA – AB. 0,5 Vậy BP = CD b)(0,75đ) Vì BI // AN (gt) B· IM ·ANM ·AMN 0,25 BIM cân tại B BM = BI = BP Mà BP = CE ( = CD) 0,25 BI = CE mà BI // CE. Vậy BICE là hình bình hành 0,25 c)(0,75đ) Theo chứng minh trên ta sẽ có BI = BP; CP = CK; BIP; CPK cân tại đỉnh B; C 0,25 Gọi BI  CK = Q, phân giác góc IBP cắt phân giác góc PCK tại S S là tâm đường tròn nội tiếp BCQ Vì BIP cân tại B BS là trung trực của PI CPK cân tại C CS là trung trực của PK 0,25 S là tâm đường tròn ngoại tiếp PIK Đường tròn (S) ngoại tiếp PIK tiếp xúc với BC, BI, CK. 0,25 Câu 5: (1 điểm) Câu Nội dung trình bày Điểm Ta có a2 b2 2ab;b2 1 2b a2 2b2 3 2(ab b 1) 1 1 0,25 a2 2b2 3 2(ab b 1) 1 1 1 1 Tương tự ; 0,25 b2 2c2 3 2(bc c 1) c2 2a2 3 2(ac a 1) Khi đó: 0,25 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 ab b 1 bc c 1 ac a 1 0,25 1 1 ab b 1 = = ( do abc = 1) 2 ab b 1 b 1 ab 1 ab b 2 Lưu ý: - HDC chỉ là một cách giải. HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào bài làm cụ thể của HS để cho điểm. - Điểm các phần, các câu không làm tròn. Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25. - Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm.