Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Thành phố Lạng Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Thành phố Lạng Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ LẠNG SƠN LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN 8 Câu 1. (2,5 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5 y xy5 chia hết cho 30 b) Giải phương trình : x2 y2 z2 y x z Câu 2. (2,5 điểm) a) Cho a b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)của biểu thức A a a2 2b b b2 a a b c b) Cho tam giác có nửa chu vi p với a,b,clà độ dài ba cạnh 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh 2 p a p b p c a b c Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km / h, 30km / h,50km / h.Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe máy và xe đạp ? Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC,I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: a) AIM : ABI 2 AM AI b) BN BI Câu 5. (1,5 điểm ) 1 Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho BE BC,F là 3 trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính diện tích AIK,biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) x5 y xy5 xy x4 y4 xy x4 1 y4 1 xy x4 1 xy y4 1 Ta có: x x4 1 x x 1 x 1 x2 1 chia hết cho 2, 3 và 5 xy x4 1 30 Cmtt xy y4 1 30 x5 y xy5 30 b) x2 y2 z2 xy yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 0 x y 2 y z 2 x2 z2 0 x y y z x z 0 x y z 0 Câu 2. 1 1 a) a b 1 a x,b y với x y 0 2 2 Ta có: A a a2 2b b b2 a a3 b3 ab a2 b2 2 2 1 1 1 2 2 1 x y x y 2 2 2 2 1 1 GTNN A x y 0 a b 2 2 1 1 4 b) Ta có : p c p b a 1 1 4 1 1 4 Tương tự: ; p c p a b p b p c c Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều: 1 1 1 4 4 4 2 p c p b p a a b c 1 1 1 1 1 1 2 p c p b p a a b c Câu 3. Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) (x 0) Thời gian xe đạp đi là x 2(h) ; Thời gian xe máy đi là : x 1(h) Quãng đường ô tô đi là 50x km
3. Quãng đường xe đạp đi là 10 x 2 (km) Quãng đường xe máy đi là 30(x 1)(km) Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp nên ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy nên ta có phương trình 5 50x 10 x 2 30 x 1 50x x 50'(tm) 6 Vậy đến 10 giờ 50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe dạp và xe máy Câu 4. A M I C B N a) M· AI I·AB(AI là phân giác µA) Cµ ·AIM I·AM I·MC 900 ( tính chất góc ngoài của tam giác) 2 1800 Cµ Cµ I·AB I·BA 900 (tính chất góc ngoài tam giác) 2 2 ·AIM I·AB AIM : ABI(gg) b) Chứng minh tương tự có IBN : ABI AIM : IBN AM IM AI IN BN BI
4. 2 AM AM IM AI Có IM IN do MCN cân tại C . BN IN BN BI Câu 5. A B I E K D F C Ta có : SAEF SABCD SABE SCEF SADF 1 1 1 5 2 SABCD SABCD SABCD SABCD SABCD 20 cm 6 6 4 12 S S AK AI AB AD Nối FI AIK . AFI . . SAIF SAFE AF AE AB DF AD BE 2 3 1 SAIK 1 1 2 . SAIK SAFE 10(cm ) 3 4 2 SAFE 2 2