Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Phú Yên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Phú Yên (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH TỈNH PHÚ YÊN LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2015-2016 Môn TOÁN Ngày thi : 02/3/2016 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,00 điểm) Cho biểu thức: a a 1 a a 1 1 3 a 2 a p ( a )( ). a a a a a a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6. Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1 9x 3. Câu 3. (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 1 1 1 2. 1 2x 1 2y 1 2z 1 Chứng minh rằng xyz . 64 Câu 4. (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ900 .Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp tuyến tại B của (O) cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X,Y theo thứ tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C song song với AB. Chứng minh rằng : a). AB.CZ = AC.BX. b) MAˆB NAˆC . Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu.Giám thị không giải thích gì thêm 1
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (4,00 điểm) Cho biểu thức: a a 1 a a 1 1 3 a 2 a p ( a )( ). a a a a a a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức P a 3 13 a 3 13 a 2 1 3 a( a 1) (2 a)( a 1) p ( )( ). a( a 1) a( a 1) a ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)(a a 1) ( a 1)(a a 1) a 1 3a 3 a 2 a 2 a a . a( a 1) a( a 1) a ( a 1)( a 1) (a a 1) (a a 1) a 1 2a 2 a 2 . a a a ( a 1)( a 1) 2 a ( a 1)( a 1) 2(a a 1) . a a ( a 1)( a 1) 2(a a 1) 2 a 2 a 2a 2 a 2 a 2 2 a 4 a b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6. 2 2 Ta có 2 a 2 2 a. 4 vậy p 8 hay p 6 (đpcm). a a Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1 9x 3. ( 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1)( 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1) (9x 3)( 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1) 9x 3 (9x 3)( 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1) (9x 3)( 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1 1) 0 9x 3 0 1 x 3 Ta dễ chứng minh được phương trình 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1 1= 0 vô nghiệm 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 3 2
3. 1 1 1 Câu 3. (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 2. 1 2x 1 2y 1 2z 1 Chứng minh rằng xyz . 64 1 1 1 2y 2z 4yz Ta có : 1 1 2 1 2x 1 2y 1 2z 1 2y 1 2z (1 2y)(1 2z) 1 4xz 1 4xy Tương tự ta có : 2 , 2 1 2y (1 2x)(1 2z) 1 2z (1 2x)(1 2y) 1 1 1 64x 2 y 2 z 2 . . 8. 1 2x 1 2y 1 2z (1 2x) 2 (1 2y) 2 (1 2z) 2 1 8xyz 8. Khi đó : (1 2x)(1 2y)(1 2z) (1 2x)(1 2y)(1 2z) 1 64xyz 1 xyz 64 Câu 4. (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ900 .Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. N B C H A D M Gọi H là giao điểm của MN và AC . 3
4. NAˆD BAˆM 2v Ta có : NAˆB BAˆD BAˆD DAˆM 2v NAˆM BAˆD 2v Mặt khác : AB // CD BAˆD ABˆC 2v Do đó : NAˆM ABˆC( 2v BAˆD) Xét tam giác NAM và tam giác CAB ta có : AM=AB AN= BC NAˆM ABˆC (cmt) Do đó hai tam giác bằng nhau Suy ra : BAˆC AMˆN (Hai góc tương ứng). Trong tam giác AHM có góc AMN +góc MAH =góc BAC + góc HAM=góc BAM = 900. Vậy : góc AHM = 900.Hay AC vuông góc với MN (đpcm). Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp tuyến tại B của (O) cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X,Y theo thứ tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C song song với AB. Chứng minh rằng : a). AB.CZ = AC.BX. b) MAˆB NAˆC . Y A T M O N G B C X Z 4
5. Xét tam giác BZC và tam giác ACB ta có : Góc CBZ = Góc BAC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cùng chắn 1 cung) Góc BCZ = Góc ABC ( so le trong ,AB//CX). Nên tam giác BZC đồng dạng với tam giác ACB (g-g). BZ CZ BC => . AC BC AB AB BC AC BZ => AB.CZ=BC.BC (1) Tương tự tam giác ABC đồng dạng với tam giác CXB (g-g) AB BC AC CX BX CB BC AC BX CB AC.BX=BC.CB (2) Từ (1) và (2) => AB.CZ = AC.BX (= BC2). Câu b. Mình nhìn không ra nhờ các bạn cùng suy nghĩ và đưa ra lời giải nhé (cảm ơn) 5