Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2017 Đề chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017 Bài 1 (6,0 điểm). 2m 16m 6 m 2 3 1. Cho biểu thức: P = 2 m 2 m 3 m 1 m 3 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Bài 2 (5,0 điểm). 1 1 4 a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: x y x y 2 b) Cho phương trình: 2x 3mx 2 0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1 và x2 . 2 2 2 2 1 x1 1 x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x1 x2 x1 x2 Bài 3 (2,0 điểm) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x yz y xz z xy 2 xy yz zx Bài 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó. a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức: 2 3 S + 2S' MH + MI + MK = 3R 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho M· AN = B· AC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc N· MF Lbinhpn thcsphuochoa
2. ĐÁP ÁN Bài 1 (6,0 điểm). m 1 1a) Rút gọn được P = (với m 0, m 1) m 1 1b) P = m 1 = 1 + 2 m 1 m 1 2 Ta có: P N N m 1 là ước dương của 2 m 4; 9 (TMĐK) m 1 Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm. 2) a + b + c  4 (a, b, c Z) Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc = 16k 2 4ak ack ac 4k b abc = 64 k 3 16bk 2 16ak 2 4abc 16ck 2 4bck 4ack abc abc = 4 16k 3 4bk 2 4ak 2 abk 4ck 2 bck ack 2abc (*) Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1) Mà: a + b + c  4 a + b + c  2 (theo giả thiết) (2) Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2 2abc  4 ( ) Từ (*) và ( ) P  4 Bài 2 (5,0 điểm). 1 1 4 a b 4 2 2 a) a b 4ab a b 0 (đúng) x y x y ab a b b) PT có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 3m 2 Ta có: x x và x .x 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 x1 1 x2 M = x1 x2 = = x1 x2 2 2 2 1 x x 2 1 x x x x 1 1 2 x x 4x x 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 x1x2 x1x2 9 2 2 = 9 m 8 2 8 8 2 8 2 Dấu “=” xảy ra khi m = 0 Vậy GTNN của M là 8 2 8 khi m = 0 Bài 3 (2,0 điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương x2 và yz, ta có: 1 1 1 1 x2 + yz 2 x2 yz 2x yz . x2 yz 2x yz 2 x yz Lbinhpn thcsphuochoa
3. 1 1 1 1 1 1 Tương tự, ta có: . và . y2 xz 2 y xz z2 xy 2 z xy 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra: (1) 2 2 2 x yz y xz z xy 2 x yz y xz z xy 1 1 1 yz xz xy Ta có: = (2) x yz y xz z xy xyz Ta có: yz xz xy x + y + z (3) Thật vậy: (*) 2 yz 2 xz 2 xy 2x 2y 2z 2 2 2 x y z x y x 0 (BĐT đúng) Dấu “=” xảy ra khi x = y = z 1 1 1 x y z 1 1 1 Từ (2) và (3) suy ra: (4) x yz y xz z xy xyz yz xz xy 1 1 1 1 1 1 1 Từ (1) và (4) suy ra: 2 2 2 x yz y xz z xy 2 xy yz zx Bài 4 (7,0 điểm). 1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB Ta có: BEM là tam giác đều BE = BM = EM A A BMA = BEC MA = EC Do đó: MB + MC = MA Cách 2: O O Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB E B C Ta có: BEM là tam giác đều BE = BM = EM B C M MBC = EBA (c.g.c) MC= AE Do đó: MB + MC = MA M E 1.b) Kẻ AN vuông góc với BC tại N A Vì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác 3 A, O, N thẳng hàng AN = R 2 AN 3 3 Ta có: AN = AB.sin ·ABN AB R : R 3 O sin ·ABN 2 2 K 1 2SABM 2SABM I N Ta có: MH.AB SABM MH = B 2 AB R 3 C H 1 2SACM 2SACM MK.AC SACM MK = 2 AC R 3 M 1 2S 2S 2S ' MI.BC S MI BCM = BCM = 2 BCM BC R 3 R 3 2S ' 2 2S ' 2 Do đó: MH + MK + MI = + S S = + .S R 3 R 3 ABM ACM R 3 R 3 ABMC 2S ' 2 2 3 S 2S ' = + . S S ' R 3 R 3 3R Lbinhpn thcsphuochoa
4. 2. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K Tứ giác AEDB nội tiếp C· DE B· AC Mà: M· KD C· DE (vì MK // BC). Do đó: M· KD M· AN Tứ giác AMKN nội tiếp ·AMN ·AKN ¶ ¶ · ¶ ¶ Ta có: D3 D4 (= BAC ) D1 D2 A DMK có DA là phân giác vừa là đường cao nên cân tại D DM = DK N AMD = AKD (c.g.c) ·AMD ·AKD F Nên: ·AMF ·AKN . Ta có: ·AMF ·AMN ·AKN E H Vậy: MA là phân giác của góc N· MF M K 1 2 3 4 B D C Lbinhpn thcsphuochoa