Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Chi Lăng Bắc (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Chi Lăng Bắc (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN THANH MIỆN TỈNH TRƯỜNG THCS CHI LĂNG BẮC MÔN TOÁN LỚP 9 T-02-HSG9-CLB-PGDTM Thời gian làm bài 150 phút (Đề thi gồm 5 câu, 1 trang) Câu 1:( 2 điểm) 125 125 a) Chứng minh rằng x 3 3 9 3 3 9 là một số nguyên 27 27 x3 y3 z2 b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3 3xy z z Câu 2:( 2 điểm) 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số thỏa mãn: a + b + c = 2014 và a b c 2014 thì một trong 3 số phải bằng 2014 b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x yz y zx z xy 1 xy yz zx Câu 3: ( 2 điểm) x x a) Gpt: 5 2 6 5 2 6 10 x4 y4 1 b) Cho a, b, x, y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 = 1 và a b a b x10 y10 2 chứng minh rằng: a5 b5 a b 5 Câu 4: ( 3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC và điểm A thuộc đường tròn. Kẻ AH vuông góc với BC. Gọi M, N theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung AB và AC. Kẻ phân giác của góc AHB và AHC, các đường phân giác này theo thứ tự cắt BN tại E và CM tại F. Gọi giao điểm của BN và CM là K. Chứng minh rằng: a) AK vuông góc EF b) Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Câu 5: ( 1 điểm) 2014 2014 x y 1 Tìm x; y biết: 2013 x 2013 y 2014 y 2014 x .(x y xy 2014)
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC HUYỆN THANH MIỆN SINH GIỎI 9 TRƯỜNG THCS CHI LĂNG BẮC MÔN TOÁN T-02-HSG9-CLB-PGDTM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Đáp án Biểu điểm 1 125 125 a) Ta có x 3 3 9 3 3 9 27 27 125 125 x3 = 3 9 3 9 + 3 0.5 27 27 125 125 0.25 3 3 9 3 3 9 .x = 6 - 5x 27 27 0,25 x3 + 5x - 6 = 0 Giải PT ta được x = 1. Vậy x là 1 số nguyên 3 3 2 x3 y3 z2 x y z 1 b) 3 3 3 3 3xy z z x y 3xy z 2 0.25 (2) (x + y)3 - z3 + 3xyz - 3xy(x + y) = 0 x y z x2 y2 z2 xy yz zx x y z x y 2 y z 2 z x 2 0 0.25 x + y - z = 0 x + y = z thay vào PT (1) ta được x3 + y3 =(x + y)2 x2 - xy + y2 = x + y (vì x + y > 0) y2 - (x + 1)y + x2 - x = 0 (3) 0.25 Để HPT có nghiệm nguyên thì PT (3) có nghiệm = (x + 1)2 - 4(x2 - x) ≥ 0 - 3x2 + 6x + 1 ≥ 0 - 3( x - 1)2 ≤ 4 Vì x nguyên dương nên x = 1 hoặc x = 2 Với x = 1 y = 0 hoặc y = 2. Vì y > 0 y = 2 z = 3 0.25 Với x = 2 y2 - 3y + 2 = 0 y = 1 hoặc y = 2 Nếu y = 1 z = 3 Nếu y = 2 z = 4 Vậy HPT có 3 nghiệm : (1; 2; 3); (2; 1; 3); (2; 2; 4) 2 1 1 1 1 a) Từ giả thiết a b c a b c 1 1 1 1 0,25 0 a b c a b c a b a b 0 a b c a b c ab 0 ab c(a b c) 0.25 2 a b ca cb c ab 0 a b c(a c) b(a c) 0 0.25
3. a b 0 (a + b)(b + c)(c + a) = 0 b c 0 0,25 c a 0 Nếu a + b = 0 c = 2014 Nếu b + c = 0 a = 2014 Nếu c + a = 0 c = 2014 b. Chứng minh BĐT x yz x yz (1) 0,25 (1) x + yz ≥ x2 + 2x yz + yz 1 ≥ x + 2 yz x + y + z ≥ x + 2 yz 0,25 2 y + z ≥ 2 yz y z 0 Vậy BĐT (1) được chứng 0, minh 25 x yz x yz 0,25 Tương tự: y zx y zx ; z xy z xy x yz y zx z xy x y z xy yz zx x yz y zx z xy 1 xy yz zx 3 a) Ta thấy 5 2 6 5 2 6 1 x 1 Đặt 5 2 6 t ( t > 0) PT t 10 t2 - 10t + 1 = 0 t t 5 2 6 0.25 t 5 2 6 x 2 - Nếu t = 5 2 6 5 2 6 5 2 6 x = 2 0.25 x 1 - Nếu t = 5 2 6 5 2 6 = 5 2 6 = 5 2 6 = 2 5 2 6 x = -2 0.25 2 2 2 b) Ta có (x + y ) = 1 0.25 2 2 2 x4 y4 x y b(a + b)x4 + a(a + b)y4 = ab(x4 + 2x2y2 + a b a b y4) b2x4 + a2y4 - 2abx2y2 = 0 (bx2 - ay2)2 = 0 bx2 - ay2 = 0 x2 y2 x2 y2 1 x10 y10 1 a b a b a b a5 b5 a b 5 4 0.5
4. A N M L I K F E B C P H O a) Từ giả thiết suy ra BN và CM là tia phân giác của của góc ABH 0.25 và góc ACH VÌ HE và HF lần lượt là phân giác của góc AHB và góc AHC nên E, F lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB và AHC suy 0.5 ra AE, AF là phân giác của góc BAH và góc CAH E· AF 450 Gọi L là giao của BL và AF ·ABE B· AE ·AEL 450 AEL vuông cân tại L 0.25 · 0 AEL 90 EL  AF 0.5 Tương tự: CF AE K là trực tâm của tam giác AEF AK  EF 0.25 b) Ta có tứ giác EILF nội tiếp L· EF L¶IF Vì BL và CI là phân giác của góc ABH và góc ACH. AI và AL tương ứng vuông góc với CI và BL I và L lần lượt là trung 0.25 điểm của AP và AO IL // OP hay BC IL  AH L¶IF I·AH 0.25 Mà I·AH I·CH L· EF I·CH hay L· EF F· CB BEFC nội tiếp 0.25 5 Điều kiện: x, y 0. Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: - Nếu x > y thì: VT > 0, VP VP PT (2) vô nghiệm. 0.25 - Nếu y > x thì: VT 0 suy ra: VT < VP. PT (2) vô nghiệm 0.25 - Nếu x = y khi đó: VT = VP = 0. 0.25 1 0.25 Kết hợp với (1) (Chú ý:x, y 0. ) ta được: x y . 2014 2