Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Xuân Phú

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Xuân Phú

1. TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6 b) Đa thức f x 4x3 ax b chia hết cho các đa thức x 2; x 1.Tính 2a 3b Bài 2. (2 điểm) a) Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương 10n2 9n 4 b) Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số tối giản 20n2 20n 9 Bài 3. (3 điểm) xyz a) Cho x3 y3 z3 3xyz.Hãy rút gọn phân thức : P x y y z z x 14 4 54 4 94 4 174 4 b) Tìm tích: M . . 34 4 74 4 114 4 194 4 Bài 4. (4 điểm) a) Cho x by cz; y ax cz; z ax by và x y z 0; xyz 0 . 1 1 1 CMR: 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0,tính giá trị của biểu thức P x y z x2 y2 z2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 5. (3 điểm) Cho biểu thức : P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Bài 6. (3 điểm). Cho hình vuông ABCD, gọi E,F thứ tự là trung điểm của AB,BC. a) Chứng minh rằng: CE  DF b) Gọi M là giao điểm của CE và DF.Chứng minh rằng: AM AD Bài 7. (3 điểm) Cho tam giác ABC.Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. a) Chứng minh rằng EC BH;EC  BH b) Gọi M , N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH.Gọi I là trung điểm của BC.Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ?
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) x 1 x 3 x2 2x 2 b) Đa thức f (x) 4x3 ax bchia hết cho các đa thức x 2; x 1nên: f 2 0 32 2a b 0(1) f ( 1) 0 4 a b 0 (2) Từ 1 và 2 ta tìm được a 12;b 8 Vậy 2a 3b 0 Bài 2. a) Ta có: an 1 1 2 3 n n 1 n n 1 a a 2 1 2 3 n n 1 2. n 1 n2 2n 1 n n 1 2 n 1 2 là một số chính phương. b) Gọi d là ƯCLN của 10n2 9n 4và 20n2 20n 9 10n2 9n 4d 20n2 18n 8d 2n 1d d là số tự nhiên lẻ 2 2 20n 20n 9d 20n 20n 9d Mặt khác : 2n 1d 4n2 4n 1d 20n2 20n 5d 4d , mà d lẻ nên d 1 Vậy phân số trên tối giản Bài 3. a) Từ x3 y3 z3 3xyz chỉ ra được x y z 0 hoặc x y z TH1: x y z 0 x y z; x z y; y z x P 1 1 TH 2: x y z P 8 b) Nhận xét được: n4 4 n 1 2 1 n 1 2 1 . Do đó: 2 2 2 2 2 1. 2 1 4 1 . 6 1 16 1 . 18 1 1 1 M . 22 1 . 42 1 62 1 . 82 1 182 1 . 202 1 202 1 401
3. Bài 4. a) Từ giả thiết 2cz z x y 2cz x y z x y z x y z 1 2z c c 1 2z 2z c 1 x y z 1 2x 1 2y 1 1 1 Tương tự: ; . Khi đó: 2 1 a x y z 1 b x y z 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 1 3 b) Từ 0 x y z x3 y3 z3 xyz Khi đó: yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 P 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 xyz. 3 x y z x y z x y z xyz Bài 5. a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x2 Rút gọn P ta có: P x 1 2 1 3 2 2 2 x x x x x 1 2 4 b) P 1 1 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 Vậy với x 1và x 0; x 1thì P 1 x2 x2 1 1 1 1 c) Ta có: P x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Khi x 1; x 1 0.Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1 2. Dấu " "xảy ra x 1 khi và chỉ khi x 2.Vậy GTNN của P bằng 4 x 2
4. Bài 6. A E B M F 1 1 N 2 D K C µ µ a) Chứng minh được CBE DFC c.g.c C1 D1 µ ¶ 0 µ ¶ 0 Lại có: C1 C2 90 D1 C2 90 CE  DF b) Gọi K là trung điểm của CD. Chứng mnh được tứ giác AECK là hình bình hành suy ra AK / /CE Gọi N là giao điểm của AK và DF. DCM có DK KC và KN / /CM nên N là trung điểm của DM. Vì CM  DM ( câu a), KN / /CM KN  DM Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại A. AM AD
5. Bài 7. H E N F A M D C B I a) Chứng minh được: EAC BAH c.g.c EC BH, ·AEC ·ABH Gọi K và O thứ tự là giao điểm của EC với BA và BH Xét AEK và OBK có: ·AEK O· BK; ·AKE O· KB E· AK B· OK B· OK 900.Vậy EC  BH 1 1 b) Ta có: MI / /EC;MI EC;IN / /BH;IN BH 2 2 Mà EC  BH và EC BH nên MI IN và MI  IN Vậy tam giác MIN vuông cân tại I