Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học : 2012-2013 Bài 1. ( 4 điểm) 1 x3 1 x2 Cho biểu thức : A x : 2 3 x 1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức Atại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0. Bài 2 (3 điểm) Cho a b 2 b c 2 c a 2 4. a2 b2 c2 ab ac bc Chứng minh rằng a b c Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11.Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a4 2a3 3a2 4a 5 Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600 , phân giác BD. Gọi M , N,I theo thứ tự là trung điểm của BD,BC,CD a) Tứ giác AMNI là hình gì ? Chứng minh. b) Cho AB 4cm.Tính các cạnh của tứ giác AMNI Bài 6. (5 điểm) Hình thang ABCD AB / /CD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD,BC theo thứ tự ở M , N a) Chứng minh rằng OM ON 1 1 2 b) Chứng minh rằng AB CD MN 2 2 c) Biết SAOB 2008 (dvdt); SCOD 2009 (dvdt).Tính SABCD
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Với x 1 thì: 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 . 1 x 1 x 2 5 b) Tại x 1 thì 3 3 2 5 5 25 5 2 A 1 1 1 . 1 10 3 3 9 3 27 c) Với x 1 thì A 0 khi và chỉ khi 1 x2 1 x 0 (1) Vì 1 x2 0với mọi x nên 1 xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 Bài 2. Biến đổi đẳng thức để được a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 4a2 4b2 4c2 4ab 4ac 4bc Biến đổi để có: a2 b2 2ac b2 c2 2bc a2 c2 2ac 0 Biến đổi để có: a b 2 b c 2 a c 2 0 * Vì a b 2 0; b c 2 0; a c 2 0 với mọi a,b,c Nên * xảy ra khi và chỉ khi a b 2 0; b c 2 0; a c 2 0 Từ đó suy ra a b c
3. Bài 3. Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x 11 x Phân số cần tìm là x 11 x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì ta được phân số x 15 x x 15 Theo bài ta có phương trình : x 11 x 7 Giải phương trình và tìm được x 5(tm) 5 Từ đó phân số cần tìm là 6 Bài 4. Biến đổi để có: A a2 a2 2 2a a2 2 a2 2 3 a2 2 a2 2a 1 3 a2 2 a 1 2 3 Vì a2 2 0a và a 1 2 0a nên a2 2 a 1 2 0a Do đó: a2 2 a 1 2 3 3 a Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1
4. Bài 5. B N M C A D I a) Chứng minh được AMNI là hình thang Chứng minh AN = MI từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 4 3 8 3 b) Tính được AD cm;BD 2AD cm 3 3 1 4 3 AM BD cm 2 3 4 3 Tính được NI AM cm 3 8 3 1 4 3 DC BC cm,MN DC cm 3 2 3 8 3 Tính được AI cm 3
5. Bài 6. A B M O N D C OM OD ON OC OD OC a) Lập luận để có: ; ; (Định lý Ta let) AB BD AB AC DB AC OM ON OM ON AB AB OM DM OM AM b) Xét ABD có: 1 , Xét ADC có : (2) AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ 1 , 2 OM. 1 AB CD AD AD 1 1 1 1 2 Chứng minh tương tự : ON. 2 AB CD AB CD MN c) SAOB OB SBOC OB , SAOB.SDOC SBOC .SAOD SAOD OD SDOC OD 2 Chứng minh được: SAOD SBOC SAOB.SDOC SAOD 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 SAOD SAOD 2008.2009 2 2 2 2 Do đó : SABCD 2008 2.2008.2009 2009 2008 2009 4017 (dvdt)