Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn (Có đáp án và thang điểm)

1. Phßng GD-§T NghÜa ®µn §Ò thi häc sinh giái huyÖn n¨m häc 2011-2012 §Ò chÝnh thøc M«n : To¸n (Thêi gian lµm bµi: 150 phót kh«ng kÓ giao ®Ò ) Bµi 1: x x 5 x 12 2( x 3) x 3 1. Cho P x x 6 x 2 3 x a) T×m §KX§ vµ rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 2011 3 3 3 2. Chøng tá r»ng x0 9 4 5 9 4 5 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x 3x 17 1 0 Bµi 2 : ( ý 4 cña bµi 2 thÝ sinh b¶ng B kh«ng ph¶i lµm ) 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 2x 3 5 2x 3x2 12x 14 b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh : x2 + 2x + 15 = 6 4x 5 1 1 2. Cho a > 0, b > 0 và a + b 1. Tìm GTNN của biểu thức A = a 2 b 2 a 2 b 2 3. T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 21 vµ n – 18 lµ hai sè chÝnh ph­¬ng. 4. T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh: x2 xy y2 x2 y2 Bµi 3: Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - 1 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị bằng 2 Bµi 4 : Cho ®­êng trßn ( O,R) ®­êng kÝnh AB. Qua ®iÓm C thuéc ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn d cña ®­êng trßn. Gäi I, K lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ A vµ B ®Õn ®­êng th¼ng d. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ C ®Õn AB. Chøng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI . BK c) AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh IK. Bµi 5: (Bµi 5 thÝ sinh b¶ng B kh«ng ph¶i lµm ) Cho (O,R) và hai điểm A,B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R 2 . Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+ 2 MB đạt GTNN? HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh: . Sè b¸o danh: . 1
2. Phßng GD&§T NghÜa §µn Kú thi chän häc sinh giái HuyÖn líp 9 THCS N¨m häc 2011 - 2012 h­íng dÉn vµ biÓu ®iÓm ChÊm B¶NG A (H­íng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm gåm 05 trang) M«n: to¸n Líp 9 C©u Néi dung Bµi 1 a- §KX§: x 0, x 9 Víi x 0, x 9 ta cã: x x 5 x 12 2 x 3 x 3 P x 2 x 3 x 2 x 3 2 x x 5 x 12 2 x 3 x 3 x 2 x 2 x 3 x x 5 x 12 2x 12 x 18 x 5 x 6 x 2 x 3 x x 3x 12 x 36 x 2 x 3 x x 3 12 x 3 x 2 x 3 x 3 x 12 x 2 x 3 x 12 x 2 B Víi x 0, x 9 ta cã: x 12 16 16 P x 2 x 2 4 x 2 x 2 x 2 16 ¸p dông bÊt d¼ng thøc Cosy cho 2 sè kh«ng ©m x 2 vµ ta x 2 16 16 cã: x 2 2 x 2 8 x 2 x 2 16 2 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra x 2 = x 2 42 x 4 (TM) x 2 VËy Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 4 x 4 2) 2
3. Ta cã: 3 x 3 3 9 4 5 3 9 4 5 18 33 (9 4 5)(9 4 5).x 0 0 3 x0 3x0 18 0 3 x0 3x0 17 1 2011 3 2011 Suy ra: x0 3x0 17 1 1 1 0 Do ®ã x= x0 lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. Bµi 2 a- 2x 3 5 2x 3x2 12x 14 (1) 1a 3 5 §KX§: x 2 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki, ta cã: VT= 2x 3 5 2x 2(2x 3 5 2x) 2 DÊu “=” x¶y ra khi 2x 3 = 5 2x  x= 2 Ta l¹i cã: VP =3x2 12x 14 3(x 2)2 2 2 DÊu “=” x¶y ra khi x = 2 Do ®ã VT = VP  x = 2 ( TM§KX§) vËy S 2 1b 5 ĐK: x 4 Ta có : x2+2x+15 = 6 4x 5 (x2-2x+1) +(4x+5 -2.3 4x 5 9 ) =0 2 (x-1)2 + 4x 5 3 0 2 x 1 0 2 x=1 (TM) 4x 5 3 0 Vậy phương trình có nghiệm là x=1 2. 2 1 2 1 15 1 1 Ta có A = a b 16a 2 16b 2 16 a 2 b 2 1 1 1 1 1 1 2 4 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: a 2 , b 2 , 16a 2 2 16b 2 2 a 2 b 2 ab 2ab 1 1 4 Mặt khác ta có: a 2 b 2 a 2 b 2 1 1 1 1 4 16 Từ đó suy ra: 2 4 4. 16 a 2 b 2 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab a b 2 1 1 suy ra: 8 a 2 b 2 1 1 15 17 Vậy: A . 2 2 2 2 a b 1 Dấu “=” xảy ra khi: a b a b 1 2 3
4. 17 1 Do đó MinP = a b 2 2 3. §Ó n + 21 vµ n – 18 lµ hai sè chÝnh ph­¬ng n 21 p2 vµ n 18 q2 ( p,q N) p2 q2 (n 21) (n 18) 39 ( p q)( p q) 39 V× 39 = 1 .39 = 3. 13 vµ p – q 0 nªn p q 1 p q 3 p 20 p 8 HoÆc HoÆc p q 39 p q 13 q 19 q 5 p 20 p 8 Víi n = 379 (TM) ; Víi n = 43(TM) q 19 q 5 VËy víi n = 379 hoÆc n = 43 th× n +21 vµ n – 18 lµ hai sè chÝnh ph­¬ng 4. Ta cã: x2 xy y2 x2 y2 4x2 4xy 4y2 4x2 y2 0 2x 2y 2 (2xy 1)2 1 2x 2y 2xy 1 2x 2y 2xy 1 1 x 0 2x 2y 2xy 1 1 y 0 2x 2y 2xy 1 1 x 1 2x 2y 2xy 1 1 y 1 2x 2y 2xy 1 1 x 1 y 1 vËy ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm lµ (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) Bµi 3 a Giả sử đường thẳng (d) đi qua điểm cố định M(x0 ;y0) với mọi m khi đó : y0 m 2 x0 2m 1 m x0m 2x0 2m 1 y0 0m (x0 2)m (2x0 y0 1) 0m x0 2 0 x0 2 2x0 y0 1 0 y0 3 Vậyđường thẳng d đi qua điểm cố định M(-2 ;3). B y B H O4 A x d
5. * Nếu m = 2 thì (d) : y = 3 khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến (d) bằng 3 * Nếu m 2 thì : Gọi A và B thứ tự là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành và trục tung . Ta tính được 2m 1 OA ;OB 2m 1 m 2 Gọi OH là khoảng cách từ O đến AB, ta có : 1 1 1 (m 2)2 1 (m 2)2 1 OH 2 OA2 OB2 2m 1 2 2m 1 2 2m 1 2 2 2m 1 2 OH 2 2m 1 4(m 2)2 4 (do OH 2) (m 2)2 1 19 m 12 Vậy OH =2 m =19 12 d Bµi 4 K VÏ h×nh ®óng vµ chÝnh x¸c (0,5®) `` C I B A H O a Nèi OC. V× d lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C nªn OC vu«ng gãc víi d Ta cã: AI// BK ( v× cïng vu«ng gãc víi d) => ABKI lµ h×nh thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( v× cïng vu«ng gãc víi d) => CI = CK ( T/c ®­êng trung b×nh cña h×nh thang) b v× C· AI ·ACO ( So le trong, AI//CO), ·ACO C· AO(VOAC c©n) C· AI C· AO VIAC VHAC ( C¹nh huyÒn - gãc nhän) => AI = AH. T­¬ng tù: BK = BH. 5
6. Do VABC néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB nªn VABC vu«ng t¹i C. => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng) Ta cã:VIAC VHAC CI CH CK IK H (C, ) Mµ CH  AB t¹i H 2 IK => AB lµ tiÕp tuyÕn cña (C, ) 2 Bµi 5 B M N O A C Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O,R). Trên đoạn OC lấy điểm N OC sao cho 2 ON OC OM OA Suy ra 2 suy ra MOA ~ NOM (c.g.c) ON ON OM MA 2 MA 2MN MN MA 2MB 2MN 2MB 2 MN MB 2NB (không đổi) Dấu “=” xảy ra khi M thuộc đoạn NB Vậy M là giao điểm của đoạn NB với đường tròn(O,R) L­u ý : - Tæng ®iÓm tèi ®a lµ 20 ®iÓm - NÕu häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a - C©u h×nh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ sai h×nh th× kh«ng chÊm ®iÓm. 6