Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

1. PHÒNG GD - ĐT CẨM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP GIÀNG HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán 9 Sưu tầm: Phạm Văn Cát Thời gian làm bài:150 phút THCS Cẩm Định Cẩm Giàng (Đề thi gồm 01 trang HD Ngày thi 16-10-2013 Câu 1( 2 điểm) a)Cho biểu thức: A = (x2 – x - 1 )2 + 2013 3 3 Tính giá trị của A khi x = 3 1 1 3 1 1 b) Cho (x + x2 2013 ).(y + y2 2013 )=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0 Câu 2 ( 2 điểm) a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) x2 1 a b c b) Chứng minh 2 , với a, b, c>0 b c a c b a Câu 3 ( 2 điểm) a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 Câu 4 ( 3 điểm) 1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh: a) DE2=BH.HC b) AH3=BC.BD.CE Â a 2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh sin 2 b c Câu 5( 1 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c Hết
2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Nội dung Biểu điểm 1 a) 3 3 3( 3 1 1) 3( 3 1 1) 0,25 x = = 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3( 3 1 1 3 1 1) 2 3 = 2 3 1 1 3 Thay x = 2 vào biểu thức A ta có: 0,25 A = (22 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014 3 3 0,25 Vậy khi x = thì giá trị của biểu thức A là 3 1 1 3 1 1 0,25 2014 b) 0,25 (x + x2 2013 ).(y + y2 2013 )=2013 (x - x2 2013 )(x + x2 2013 ).(y + y2 2013 )=2013(x - 0,25 x2 2013 ) -2013.(y + y2 2013 )=2013(x - x2 2013 ) 0,25 -y - y2 2013 =x - x2 2013 0,25 Tương tự: -x - x2 2013 = y - y2 2013 x+y =0 x =-y x2013+ y2013=0 2 a) x2+ 5x +1 = (x+5) x2 1 0,25 0,25 x2+1 + 5x = (x+5) x2 1 0,25 2 2 2 x +1 + 5x - x x 1 - 5 x 1 =0 0,25 x2 1 ( x2 1 -x) +5(x- x2 1 )=0 b) ( x2 1 -x) ( x2 1 - 5) = 0 0,25 ( x2 1 -x) = 0 hoặc ( x2 1 - 5) = 0 0,25 x2 1 =x hoặc x2 1 = 5 x2+ 1 = x2 (không có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25 0,25 x2 = 24 x = 24 0,25 Vậy nghiệm của PT là x = 24
3. 3 b c a b c a (b c)a Ta có (b c)a 2 2a a 0,25 b c a b c a 2a 2a a b c a b c b 2b c 2a Tương tự: , a c a b c b a a b c a b c 2(a b c) 2 0,25 b c a c b a (a b c) Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không 0,25 có) a b c Vậy 2 0,25 b c a c b a 4 a) (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x2+10x+16)( x2+10x+24) 0,5 +2013 =( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013 =( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21 = y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998 0, 5 (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998 0,5 A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 b) = (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014 0,5 Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0 5 A 0,25 E D B H C 0,25 Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH  AB, HE  0,25 AC 0,25 a) Tứ giácADHE có D· AE =90 0, ·ADH =90 0, ·AEH =90 0 0,25 Tứ giácADHE là hình chữ nhật AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC 0,25 0,25 b) Ta có AH2=BH.HC AH3=BH.HC.AH 0,25 AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC 0,25 AH3=BC.BD.CE
4. A I C B D 0,25 Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC BD DC BD DC BD DC CB a Ta có = 0,25 AB AC AB AC AB AC AB AC b c Vẽ BI  AD BI BD 0,25 Â BI Â BD Â a Ta có sin sin . Vậy sin 2 AB 2 AB AC 2 b c 0,25 1 1 4 6 Với x 0, y 0 ta có (x y)2 4xy x y x y 1 1 1 1 0,25 (I) x y 4 x y a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0, Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có: 1 1 4 2 a b c a c b a b c a c b a 0,25 1 1 4 2 Tương tự: b a c b c a c b a a b c b 0,25 1 1 4 2 c b a c a b c b a c a b c 0,25 1 1 1 1 1 1 (đpcm) a b c b c a c a b a b c