Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎi TOÁN 9 Thời gian: 150 phút. Bài 1. (5 điểm) x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 Cho biểu thức: P = x . x x x x x x 1 x 1 với x > 0; x 1. 1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. 2. Tính P khi x = 9 4 5 9 4 5 . 3. Tìm x để P < 21 . 2 Bài 2. (4 điểm) 1. Cho x, y là 2 số thực dương thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1. 2. Giải phương trình: 2 x 2 x 2. 2 2 x 2 2 x Bài 3. (4 điểm) a b c 1. Cho 1. Tính giá trị biểu thức b c c a a b a 2 b 2 c 2 Q = . b c c a a b 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0. Bài 4. (6 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn đó (B,C là 2 tiếp điểm, D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC. 1. Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn. 2. Chứng minh AH.AO = AD.AE. 3. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Biết OA = 6cm; R = 3,6cm. Tính chu vi AMN. 4. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC lần lượt tại I và K. Chứng minh MI + NK IK. Bài 5. (1 điểm) Cho x, y R, x 0, y 0. Chứng minh: x 2 y 2 x y 4 3 2 2 . y x y x
2. PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2013-2014. Môn thi: Toán Bài Nội dung Điểm Bài 1 1. (5 điểm) P = 2 2 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x 1 x 1 x 1 . x( x 1) x( x 1) x x 1 . x 1 2đ 2(x x 1) = = . x 0,5đ 2. Tĩnh x = = 4 Thay x = 4 tính P = 7 1đ 21 2(x x 1) 21 3. P 0, x 1. 2 x 2 1đ ( x 4)(4 x 1) 0, b > 0) 0,5đ a 2 b 2 2. 0,5đ 2 a 2 b 2(2 ab) (a b)(2 ab) Vì a > 0, b > 0 2 + ab > 0 a - b = 2 a2 - 2ab - b2 = 2 2ab = 2 ab = 1 0,5đ 2 x 2 x 1 0,5đ 4 x 1 4 x 1 x 3 (TM).
3. 1. Ta có a + b + c 0 vì nếu a + b + c = 0 thế vào giả thiết ta có a b c Bài 3 1 3 1 (vô lí). (4 điểm) a b c 0,5đ Khi a + b + c 0 ta có a b c (a b c) a b c. b c c a a b a 2 a(b c) b(c a) b 2 c(a b) c 2 0,5đ a b c b c b c c a c a a b a b a 2 b 2 c 2 + a + b + c = a + b + c b c c a a b a 2 b 2 c 2 = 0 Q = 0. 0,5đ b c c a a b 2. Giải phương trình nghiệm nguyên. 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0. 0,5đ (2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 2x + y + 1 và x + y + 1 là các ước của -1 2x y 1 1 TH 1: x 2, y 4 x y 1 1 0,75đ 2x y 1 1 TH 2: x 2, y 2 0,5 đ x y 1 1 Kết luận (x,y) = (2; -4) hoặc (-2; 2) 0,5 đ 0,25 đ Bài 4 I B M E D 1,25đ H A O N 0,75đ C K 0,75đ 0,25đ
4. 0,5đ 1. Chứng minh OB  AB, OC AC (theo tính chất tiếp tuyến) 0,25đ OBA OCA 900 B và C cùng thuộc đường tròn đường kính OA 4 điểm A, B,O, C cùng thuộc một đường tròn. 0,75đ 2. Chứng minh OB  AB Chứng minh OA  BC tại H AB2 = AH.AO (1) 0,5đ Chứng minh ABD đồng dạng với AEB AB AD AB2 = AE.AD (2) AE AB Từ (1) và (2) AH.AO = AE.AD 3. Tính AB = 4,8cm Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra AB = AC, MD = MB, ND = NC Chu vi AMN là: AM + AN + MN = AM +AN + MD +DN = AM +AN + MB + NC = AB + AC = 2AB = 9,6cm. 4. Chứng minh IK//BC Và AB = AC AI = AK IK AIK cân tại A AIK AKI và OI = OK = 2 0,5đ Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra: 1 NMO OMI NMI 2 1 MNO ONK MNK 0,5đ 2 Tứ giác MNKI có IMN MNK NKO KIM 3600 2IMO 2ONK 2NKO 3600 IMO ONK NKO 1800 Đồng thời NOK có: NOK ONK NKO 1800 IMO NOK MIO đồng dạng với OKN MI OI IK 2 MI.NK OI.OK . OK NK 4 MI NK IK 2 IK MI.NK Áp dụng BĐT Cosi: 2 4 2 MI NK IK
5. Bài 5 x 2 y 2 x y 4 3 2 2 (1) (1điểm) y x y x x 2 y 2 x y 4 3 o 2 2 (2) y x y x x y x y x y a 2 Đặt a = a 2 y x y x y x a 2 x 2 y 2 a2 = 2 y 2 x 2 BĐT (2) trở thành a2 - 3a + 2 0 (a - 2)(a + 1) 0. 0,5đ Lập bảng xét dấu suy ra: 1 a 2 a 2 Từ a nằm trong miền nghiệm của bất phương trình đã xét. a 2 Vậy a thoả mãn a2 - 3a + 2 0 (1) đúng x 2 y 2 x y 4 3 Vậy 2 2 y x y x 0,5đ Lưu ý: HS làm cách khác đúng cho điểm tối đa Chứng minh hình phải có lập luận, căn cứ chặt chẽ mới cho điểm tối đa.