Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN THANH OAI Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (6,0 điểm) 3 3 x 3 1) Cho biểu thức Q 1 2 3 x x 3 3 x 27 3 x a/ Tìm điều kiện của Q và rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi x 4 7 4 7 2) Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + + 100 Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 2013 4x 8052 3 1 1 1 2) Cho abc = 1.Tính S = 1 a ab 1 b bc 1 c ac Bài 3: (3,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 2) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 Chứng minh : a2 b2 2 2 a b Bài 3: (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh tam giác ABC vuông b)Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 c) Xác định tam giác ABC sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính d/ tích lớn nhất đó theo R. Bài 5: (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2(x y) 16 3xy
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Bài Tóm tắt lời giải Điểm 1.a) ĐKXĐ: x 0; x 3 0,5 3 3 x 3 Q = 1 2 3 x x 3 3 x 27 3 x Bài 1 3 3 x 2 x 3 3 Q = 2 2 0,5 Câu 1a x x 3 3 (x 3)(x x 3 3) 3x (2đ) (x 3) 3 3 x 2 x 3 3 = 2 (x 3)(x x 3 3) 3x 0,5 1 x 3 0,5 1.b) Ta có: x 4 7 4 7 8 2 7 8 2 7 0,5 x 2 2 2 2 1 7 1 7 Bài 1 x 2 2 0,5 Câu 1b 1 7 7 1 (2 đ) x 2 2 0,5 x 2 Thay x = 2 vào Q ta có: 1 0,5 Q 2 3 2 3 2. Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101. 50 0,5 Bài 1 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 0,25 Câu 2 và 101 (2 đ) Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) 0,25 = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + + 0,25 (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 0,25 992 + + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) 0,25 0,25
3. Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 0,25 50 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B Bài 2 x 2013 4x 8052 3;ÐK : x 2013 0,5 (1,5 đ) 1. 3 x 2013 3 x 2014(TMÐK) 1,0 1 2. Cho abc = 1. ab c 0.5 1 1 1 S = 1 a ab 1 b bc 1 c ac 1 1 1 (2,5 đ) = 1 0,5 1 a abc b bc 1 c ac c c 1 1 = c ac 1 b ac 1 c 1 c ac 0,5 bc 1 b = b 1 c ac 0,5 b c ac 1 = 1 b c ac 1 0,5 Bài 3 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (1,5đ) x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 (1) (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0 0,25 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0 0,25 (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2) 0,25 Vì - (x + y)2 0 với mọi x, y nên: (y - 1)(y + 4) 0 - 4 y 1 0,25 Vì y nguyên nên y 4; 3; 2; 1; 0; 1 0,25 Thay các giá trị nguyên của y vào (2) ta tìm được các cặp nghiệm nguyên (x; y) của PT đã cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1). 0,25 (1,5 đ) 2. - Vì a.b = 1 nên 0,25
4. 2 a2 b2 a b 2ab 0,25 a b a b 2 0,25 a b 2 2 a b a b a b 0,5 - Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 2 2 Ta có : a b 2 a b  a b a b 0,25 a2 b2 Vậy 2 2 a b Bài 4 6đ A 0,5 E D C B H O a) Chứng minh tam giác ABC vuông 0,25 Ta có: OA= OB = OC = R 0,25 => Tam giác ABC vuông tại A (theo đl đảo) b) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật 0,5 AB . EB = HB2 0,5 AC . EH = AC . AD = AH2 0,5 Ta có: AB2 = AH2 + HB2 (định lý Pi ta go) 0,5 => Đpcm 0,5 AD2 AE 2 DE 2 AH 2 b) S(ADHE)= AD.AE 1,0 2 2 2 AH 2 AO2 R2 S(ADHE) 2 2 2 0,5 R2 Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE hay AB = AC 0,5 2 0,5 Tam giác ABC vuông cân tại A Bài 5 Ta có 2(x y) 16 3xy 3xy 2x 2y 16 (1,0đ) 0,25
5. 2 4 y(3x 2) (3x 2) 16 (3x 2)(3y 2) 52 3 3 0,25 Giả sử: x y khi đó 1 3x 2 3y 2 và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các trường hợp sau: 0,25 3x 2 1 3x 2 2 3x 2 4 ; ; (loại) ; 3y 2 52 3y 2 26 3y 2 13 => nghiệm nguyên dương của PT là: ( 1; 18);( 18; 1); ( 2; 5); ( 5; 2) 0,25