Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN THANH OAI Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (6,0 điểm) x y x y x y 2xy : 1 Cho P = 1 xy 1 xy 1 xy 2 a, Rút gọn P b, Tính giá trị của P với x= c, Tìm giá trị lớn nhất của P 2 3 Bài 2: (4,0 điểm) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh 3 x 6 x - (3 x)(6 x) =3 b)Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y. Bài 3: (4,0 điểm) x y z a b c a) Cho 1 và 0 . a b c x y z x2 y2 z2 Chứng minh rằng : 1. a2 b2 c2 b) Cho a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . 1 1 1 a b c Chứng minh rằng: P= + + a 2 bc b 2 ac c 2 ab 2abc Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P . 1. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. 2. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 3. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất. Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn : 1 1 1 1 6 (x ) 3(y ) 2(z ) xyz . y z x xyz
2. ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN 9 Câu 1: (6 điểm) x y x y x y 2xy : 1 Cho P= 1 xy 1 xy 1 xy a, Rút gọn P (2 điểm) Điều kiện để P có nghĩa là : x 0 ; y 0 ; xy 1 (0,5 đ) Ta có : x y x y x y 2xy P= : 1 1 xy 1 xy 1 xy x y 1 xy x y 1 xy 1 xy x y 2xy =: (0,5đ) 1 xy 1 xy 1 xy x y x y y x x y x y y x x y xy 1 = : 1 xy 1 xy 2 x 2y x 1 xy = (0,5đ) 1 xy 1 x y 1 2 x 1 y 2 x = (0,5đ) 1 x 1 y 1 x 2 b, Tính giá trị của P với x= (1,5điểm) 2 3 2 Ta thấy x= thoả mãn điều kiện x 0 (0.25đ) 2 3 2 2 2 3 Ta có : x= = =4-23 =(3 -1)2 (0,5đ) 2 3 2 3 2 3 2 x Thay x vào P = , ta có: x 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 2 3 P= = (0,5đ) 4 2 3 1 5 2 3 5 2 3 5 2 3 2 5 3 6 5 2 3 2 3 3 1 2 3 3 1 =2 = = (0,25đ) 52 2 3 25 12 13 c, Tìm giá trị lớn nhất của P (2 điểm) Với mọi x 0, ta có: 2 x 1 0 (0,25đ) 2 x 2 x 1 0 x+1 2 x (0,5đ) 2 x 1 ( vì x+1>0) 0.25đ) 1 x 2 x 1 (0,25đ) 1 x
3. P 1 2 Vậy giá trị lớn nhất của P =1 x 1 0 0.25đ x 1 0 x 1 x=1 (0,5đ) C©u 2: (4 điểm) a)(2 điểm) ĐK : -3 x 6 (0,25đ) Đặt 3 x 6 x =t >0 (0,25đ) t 2 9 Suy ra t2=3+x+6-x+2 (3 x)(6 x) (3 x)(6 x) = (0,25đ) 2 t 2 9 Ta có pt: t- =3 t2-2t-3=0 t=-1 (loại) hoặc t=3 (0,25đ) 2 t=3 suy ra 3 x 6 x =3 x=-3 hoặc x=6 (0,5đ) b) (2đ) x2 + y2 = xy + x + y (x - y)2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2. 0,5đ Vì x, y Z nên : 0,25đ x+y 0 0 0 0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0,25đ x-1 1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 0,25đ y-1 1 1 -1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 0,25đ (x;y) (2;2) (0;0) (1;0) (2;1) (1;2) (0;1) 0, 5đ Câu 3:(4đ) a) (2đ) 2 x y z x y z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz Từ 1 1 2 2 2 1 a b c a b c a b c ab ac bc x2 y2 z2 2cxy 2bxz 2ayz 1 (1) (1đ) a2 b2 c2 abc abc abc a b c ayz bxz cxy Từ 0 0 ayz+bxz+cxy=0 (2) (0,5đ) x y z xyz xyz xyz x2 y2 z2 Từ(1) và (2) 1 (0,5đ) a2 b2 c2 b)(2đ) Do a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a,b,c>0 (0,25đ) 1 1 Theo bÊt ®¼ng thøc COSI: a2+bc 2a bc (0,5đ) a 2 bc 2a bc 1 1 1 1 T­¬ng tù: ; (0,5đ) b 2 ac 2b ac c 2 ab 2c ab 1 1 1 1 1 1 Suy ra + + + + (0,25đ) a 2 bc a 2 bc c 2 ab 2a bc 2b ac 2c ab 1 1 1 bc ac ab b c a c a b a b c + + a 2 bc a 2 bc c 2 ab 2abc 2.2abc 2abc
4. (0,5đ) C©u 4: (5đ) a)Vẽ hình và chứng minh câu a 2đ E P C D M I O/ F a) Do P thuộc (O’) mà MD là đường kính suy ra góc MPD vuông hay MP vuông góc với ED. Tương tự CE vuông góc với ED. Từ đó PM//EC. (1) Vì EF là dây cung, CD là đường kính mà CD  E F nên I là trung điểm của E F. Lại có I là trung điểm của CM nên tứ giác CE M F là hình bình hành. Vậy FM//CE.(2). Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng. (2đ) 1. Ta có  EDC = EFP (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Do tam giác PO’D cân tại O’ nên  EDC =  O’PD. Lại có  EFP = IPF (do tam giácIPF cân) vậy  I PF= O’PD mà  FPD =1v, suy ra IPO’ =900 nên IP  O’P. Hay IP là tiếp tuyến của (O’). (2đ) 2. Vì O’M =1/2 MD và IM =1/2MC nên IO’ =1/2 CD vậyIO’ =R. áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi ) . Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S là diện tích của tam giác IO’P) . Vậy 1 4S2 Max hay S Max khi PI = PO’ =R mà DM =2 PO’ do đó 2 DM = 2 R , Vậy M cách D một khoảng bằng 2 R. (1đ ) Câu 5 :(1điểm) 1 k x y 6 1 1 1 1 1 k Đặt 6(x ) 3(y ) 2(z ) xyz k y 0.25đ y z x xyz z 3 1 k z x 2 Xét tích :
5. 1 1 1 k 3 k 3 1 1 1 1 (x )( y )(z ) xyz ( y ) (x ) (z ) y z x 36 36 xyz z y x k 3 k k k k 3 k 0 k 0 36 3 2 6 36 (xyz)2 1 xyz 1 x y z 1 xy yz zx 1 xy yz zx 1 x y z 1 0,5đ 0,5đ Vậy (x, y , z) = (1,1,1) =(-1,-1,-1) là cần tìm. 0,25đ Học sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa.