Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Tỉnh Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Tỉnh Bắc Ninh (Có đáp án)

1. GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11- TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018- 2019 MễN TOÁN TIME:150 PHÚT Cõu 1. (2,0 điểm)Cho hàm số y = (m - 1)x - 2m - 3 cú đồ thị là đường thẳng d . Tỡm m để đường thẳng d cắt trục Ox,Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giỏc OAB cõn (với O là gốc tọa độ). Cõu 2. (4,5 điểm) ổ ử 2 x 2 ỗ 3pữ 4sin - 3 cos2x - 1- 2cos ỗx - ữ 2 ốỗ 4 ứữ 1) Giải phương trỡnh = 0. 2cos3x + 1 ỡ 3 2 3 ù x + xy + x = 2y + y 2) Giải hệ phương trỡnh ớù . ù x 3 + 3y + 5 2x 2 + 5x = 3y 3 + 5x 2 + 2y + 5 ợù ( ) Cõu 3. (4,0 điểm) ùỡ 3x + 1 - x + 3 ù khi x > 1 ù 2 1) Tỡm a để hàm số f (x) = ớù x - 1 liờn tục tại điểm x = 1. ù (a + 2)x ù khi x Ê 1 ợù 4 2u + u 2) Cho dóy số (u ) xỏc định bởi u = 2019;u = 2020;u = n n- 1 ,n ³ 2,n ẻ Ơ . Tớnh limu . n 1 2 n+ 1 3 n Cõu 4. (2,5 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I . Trung điểm cạnh AB là M(0;3) , trung điểm đoạn CI là J(1;0) . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng, biết đỉnh D thuộc đường thẳng D : x - y + 1 = 0. Cõu 5. (4,0 điểm) 1) Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB = a 3, BC = a và SA = SB = SC = SD = 2a . Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn AC và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của K trờn SA. a) Tớnh độ dài đoạn HK theoa. b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK ,SO . Mặt phẳng (a) di động, luụn đi qua I và cắt cỏc đoạn thẳng SA,SB,SC,SD lần lượt tại AÂ,BÂ,C Â,DÂ. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P = SAÂ.SBÂ.SCÂ.SDÂ. 2) Cho tứ diện đều ABCD cú đường caoAH . Mặt phẳng (P) chứa AH cắt ba cạnh BC,CD, BD lần lượt tạiM,N,P ; gọi a;b;g là gúc hợp bởi AM ;AN;AP với mặt phẳng(BCD). Chứng minh rằng tan2 a + tan2 b + tan2 g = 12. Cõu 6. (3,0 điểm)
2. 1) Cho tam thức f (x) = x 2 + bx + c . Chứng minh rằng nếu phương trỡnh f (x) = x cú hai nghiệm phõn biệt và b2 - 2b - 3 > 4c thỡ phương trỡnh f ộf x ự= x cú bốn nghiệm phõn biệt. ởờ ( )ỷỳ 2) Cho a,b,c là cỏc số thực dương thay đổi thỏa món (a + b - c)2 = ab. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 2 ab c2 ổ c ử P = + + ỗ ữ thức 2 2 ỗ ữ . a + b a + b ốỗa + b - cứữ 3) Lớp 11 Toỏn cú 34 học sinh tham gia kiểm tra mụn Toỏn để chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh.Đề kiểm tra gồm 5 bài toỏn.Biết rằng mỗi bài toỏn thỡ cú ớt nhất 19 học sinh giải quyết được.Chứng minh rằng cú 2 học sinh sao cho mỗi bài toỏn đều được một trong hai học sinh này giải quyết được. -----------------Hết-----------------
3. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Cõu 1 Cho hàm số y (m 1)x 2m 3 cú đồ thị là đường thẳng d . Tỡm m để đường thẳng d cắt trục Ox,Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giỏc OAB cõn. Lời giải Tỏc giả: Đoàn Thị Minh Hương; Fb: Hương Đoàn y d B O A x Cỏch 1: Để đường thẳng d cắt trục Ox,Oy tại hai điểm A và B phõn biệt khỏc O thỡ m 1 và 3 m . 2 2m 3 Khi đú A ;0 , B 0; 2m 3 . m 1 Vỡ tam giỏc OAB vuụng tại O nờn tam giỏc OAB cõn tại O OA OB 2m 3 m 2 2m 3 m 1 1 m 1 m 0 Vậy m 2;0 thỏa yờu cầu bài toỏn. Cỏch 2: 3 Để đường thẳng d cắt trục Ox,Oy tại hai điểm A và B phõn biệt thỡ m 1 và m . 2 Vỡ tam giỏc OAB vuụng tại O nờn tam giỏc OAB cõn tại O OãAB 450 ã m 0 tan OAB 1 m 1 1 m 2 Vậy m 2;0 thỏa yờu cầu bài toỏn. luuhanhlqd@gmail Cõu 2 Tranthithuyduong0710@gmail.com; 2 x 2 3 4sin 3 cos 2x 1 2cos x 2 4 1) Giải phương trỡnh 0 . 2cos3x 1 Lời giải Tỏc giả: Hà Quốc Vũ ; Fb: Hà Quốc Vũ
4. 2 x 2 3 4sin 3 cos 2x 1 2cos x 2 4 0 1 . 2cos3x 1 1 ĐKXĐ: 2cos3x 1 0 cos3x (*). 2 2 x 2 3 1 4sin 3 cos 2x 1 2cos x 0 2 4 3 1 cos 2x 1 cos x 2 4. 3 cos 2x 1 2. 0 2 2 2 2cos x 3 cos 2x 1 1 sin 2x 0 sin 2x 3 cos 2x 2cos x 1 3 sin 2x cos 2x cos x 2 2 sin 2x sin x 3 2 2x x k2 3 2 2x x k2 3 2 5 3x k2 6 5 x k2 6 5 2 x k 18 3 k  5 x k2 6 5 2 5 2 3 1 So điều kiện (*), ta loại nghiệm x k (Do cos 3 k ). Nhận 18 3 18 3 2 2 5 5 1 nghiệm x k2 (Do cos 3 k2 0 ). 6 6 2 5 Vậy x k2 k  . 6 Tranthithuyduong0710@gmail.com; 3 2 3 x xy x 2y y Cõu2b. Giải hệ phương trỡnh . 3 2 3 2 x 3y 5 2x 5x 3y 5x 2y 5 Lời giải Tỏc giả:Trần Thị Thựy Dương; Fb:Thựy Dương 3 2 3 x xy x 2y y 1 3 2 3 2 x 3y 5 2x 5x 3y 5x 2y 5 2
5. x 0 2 Điều kiện: 2x 5x 0 5 . x 2 Ta cú 1 x3 y3 xy 2 y3 x y 0 x y x2 xy 2y2 1 0 x y 2 2 x xy 2y 1 0 * 2 2 2 2 y 7y Mà x xy 2y 1 x 1 0,x, y Ă nờn phương trỡnh (* ) vụ nghiệm. 2 4 Thay x y vào phương trỡnh (2) ta được: x3 3x 5 2x2 5x 3x3 5x2 2x 5 x3 3x 5 2x2 5x 1 3x3 5x2 2x 5 x3 3x 5 2x2 5x 1 x3 3x 5  x  2x2 5x 1 2x2 5x 1 2 3 2x 5x 1 0 3 2 x 3x 5 2x 5x 1 x 0 3 2 2x2 5x 1 x 3x 5 x 2x 5x 1 4 5 33 5 33 (3) x  x (thỏa món điều kiện) 4 4 2 3 2 3 2 2 (4) x 2x 5 x 2x 5x x (2x 5) x  2x 5x 2 x3 2x3 (2x 5) (2x 5)2 x3 (2x 5) 2 x3 x3 (2x 5) (2x 5)2 0 2 3 3 2x 5 3 2 2x 2x 5 0 x (2x 5) 0 (khụng thỏa món). 2 4 2x 5 0 Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm 5 33 5 33 5 33 5 33 x; y ; ; ; .Cõu3. 4 4 4 4 3x 1 x 3 khi x 1 x2 1 1) Tỡm a để hàm số f (x) liờn tục tại điểm x 1. (a 2)x khi x 1 4 Lời giải Tỏc giả: Đàm Thị Lan Anh ; Fb: Đàm Anh Tập xỏc định D Ă . Ta cú: a 2 f (1) ; 4
6. (a 2)x a 2 lim f (x) lim ; x 1 x 1 4 4 3x 1 x 3 2(x 1) lim f (x) lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1)( 3x 1 x 3) 2 1 lim x 1 (x 1)( 3x 1 x 3) 4 a 2 1 Hàm số liờn tục tại x 1 khi và chỉ khi f (1) lim f (x) lim f (x) a 1. x 1 x 1 4 4 Vậy a 1 thỏa món yờu cầu bài toỏn. 2u + u 2) Cho dóy số (u ) xỏc định bởi u = 2019;u = 2020;u = n n- 1 ,n ³ 2,n ẻ Ơ . Tớnh n 1 2 n+ 1 3 limun . Lời giải Tỏc giả:Đinh Cụng Huấn ; Fb: Đinh Cụng Huấn 2u u Ta cú: u n n 1 3 u u u u * n 1 3 n 1 n n n 1 Đặt vn un 1 un , n 1. khi đú v1 u2 u1 1 1 * 3v v v là cấp số nhõn cụng bội q . n n 1 n 3 Ta cú: v1 u2 u1 v2 u3 u2 v3 u4 u3 .................. vn un 1 un cộng vế với vế ta được n 1 1 n 3 3 1 v v v ... v u u v u 2019 u 1 2019 1 2 3 n n 1 1 1 4 n 1 n 1 4 3 3 n 1 n 1 3 1 3 1 8079 un 1 2019 limun lim 1 2019 . 4 3 4 3 4 8079 Vậy limu . n 4 Cõu4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I . Trung điểm cạnh AB là M (0;3) , trung điểm đoạn CI là J (1;0) . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng, biết đỉnh D thuộc đường thẳng : x y 1 0 . Lời giải Tỏc giả: Lương Đức Tuấn ; Fb:Tuấn Luong Duc
7. A M H B E I J D C K + Gọi cạnh hỡnh vuụng là a . + Qua J kẻ đường thẳng song song với cạnh BC của hỡnh vuụng ABCD, đường thẳng này cắt cỏc cạnh AB , CD của hỡnh vuụng ABCD lần lượt tại H và K . a MH JK 1 4 + Ta cú, JC AC nờn . 4 3a JH DK 4 2 2 2 2 a 3a 5a2 a 3a 5a2 + JM 2 MH 2 HJ 2 , JD2 JK 2 DK 2 , 4 4 8 4 4 8 2 a 5a2 MD2 MA2 AD2 a2 . 2 4 + Cú MD2 JM 2 JD2 nờn tam giỏc JMD vuụng tại J , hay JM  JD .  + Đường thẳng JD đi qua J 1;0 nhận MJ 1; 3 làm vectơ phỏp tuyến nờn cú phương trỡnh tổng quỏt: x 3y 1 0 . x y 1 0 + Cú D DJ nờn tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trỡnh . Giải hệ x 3y 1 0 phương trỡnh ta được D 2; 1 . a 5 + Cú MD 2 5 nờn a 4. 2 + Gọi E là trung điểm MD . Ta cú E 1;1 . + Gọi A x; y . Cú A và J khỏc phớa với MD . 1 MA AB 2 2 2 2 2 2 x y 3 4 x y 6y 5 0 (1) Ta cú 1 2 2 x2 y2 2x 2y 3 0 (2) EA MD 5 x 1 y 1 5 2 Lấy (1) (2) theo từng vế ta được 2x 4y 8 0 x 4 2y . 2 Thay x 4 2y vào phương trỡnh (1) ta được 4 2y y2 6y 5 0 5y2 22y 21 0 y 3 7 . y 5 + Với y 3, ta cú x 2 A 2;3 (thỏa món).
8. 7 6 6 7 + Với y , ta cú x A ; (loại vỡ A và J cựng phớa với MD ). 5 5 5 5 + Cú M là trung điểm của AB nờn tọa độ điểm B là B 2;3 .   + Gọi C xC ; yC . Cú DC xC 2; yC 1 , AB 4;0 .   xC 2 4 xC 2 Cú DC AB nờn C 2; 1 . yC 1 0 yC 1 Vậy A 2;3 , B 2;3 , C 2; 1 , D 2; 1 . Cỏch 2: Theo đỏp ỏn của tỉnh Bắc Ninh: Gọi a là độ dài cạnh hỡnh vuụng ABCD. 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 5a Ta cú AC a 2 JD DI IJ 2 4 8 2 2 2 2 2 2 0 3a 2 a 3a 2 a 2 5a JM JA AM 2JA.AM cos 45 2. . . 4 4 4 2 2 8 5a2 DM 2 AM 2 AD2 DM 2 DJ 2 JM 2 DMJ vuụng tại J . 4 Do đú JM vuụng gúc với JD . (1)   D thuộc nờn D(t ;t 1) JD (t 1;t 1), JM ( 1;3). Theo (1)   JD.JM 0 t 1 3t 3 0 t 2 D( 2; 1) . a2 Dễ thấy DM 2 5 a2 a 4 . 4 2 2 x 2; y 3 AM 2 x (y 3) 4 Gọi A(x; y). Vỡ 6 7 AD 4 (x 2)2 (y 1)2 16 x ; y 5 5 Với A( 2;3) (thỏa món)(vỡ khi đú A, J cựng phớa so với DM ). B(2;3) I(0;1) C(2; 1) J (1;0) 6 7 Với A ; (loại). (vỡ khi đú A, J cựng phớa so với DM ). 5 5 Vậy tọa độ cỏc đỉnh hỡnh vuụng là A( 2;3), B(2;3),C(2; 1), D( 2; 1). Cõu 5. 1) Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB = a 3, BC = a và SA = SB = SC = SD = 2a . Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn AC và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của K trờn SA. a) Tớnh độ dài đoạn HK theoa.
9. b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK ,SO . Mặt phẳng (a) di động, luụn đi qua I và cắt cỏc đoạn thẳng SA,SB,SC,SD lần lượt tại AÂ,BÂ,C Â,DÂ. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P = SAÂ.SBÂ.SCÂ.SDÂ. 2) Cho tứ diện đều ABCD cú đường cao AH . Mặt phẳng P chứa AH cắt ba cạnh BC , CD , BD lần lượt tại M , N , P ; gọi ,  ,  là gúc hợp bởi AM , AN , AP với mặt phẳng BCD . Chứng minh rằng tan2 tan2  tan2  12 . Lời giải: Tỏc giả: Nguyễn Thị Hà; Fb: Ha Nguyen a) + Ta cú AB a 3; BC a AC 2a BD . + Gọi O là giao điểm của AC và BD BO a . + Xột OBC cú: OB OC BC a OBC đều, mà K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B lờn AC 3a BK  OC K là trung điểm của OC AK . 2 + Xột SOB cú: SO SB2 OB2 4a2 a2 a 3 . 3a a 3. SO.AK 3a 3 + Xột SAK cú: 2S SO.AK HK.SA HK 2 . SAK SA 2a 4 9a2 27a2 3a b) + Xột AHK cú: AH AK 2 HK 2 4 16 4 3a 5a SH SA AH 2a 4 4 + Từ O kẻ đường song song với HK , cắt SA tại điểm J .
10. a HJ KO 1 1 1 3a a + Xột AHK cú: 2 HJ .HA . HA AK 3a 3 3 3 4 4 2 5a SH SI SI SH + Xột SJO cú: 4 5 HJ IO IO HJ a 4 + Từ A và từ C kẻ cỏc đường song song với A C cắt đường SO tại cỏc điểm D và E . + Xột 2 tam giỏc ADO và OEC cú: Dã AO Oã CE (so le trong) AO OC Dã OA Eã OC (đối đỉnh) ADO CEO (g.c.g) DO EO SA SD SC SE + Trong SAD cú: ; trong SEC cú: SA' SI SC ' SI SA SC SD SE SD SE 2SO 12 SA' SC ' SI SI SI SI 5 SB SD 12 + Tương tự cú: SB ' SD ' 5 SA SB SC SD SA SB SC SD + Áp dụng BĐT Cụ – si ta cú: 44 . . . SA' SB ' SC ' SD ' SA' SB ' SC ' SD ' 24 16a4 44 5 SA'.SB '.SC '.SD ' 4 5a 625 4 SA'.SB '.SC '.SD ' a . 3 81 SA SB SC SD 6 5 + Dấu “=” xảy ra SA' SB ' SC ' SD ' a . SA' SB ' SC ' SD ' 5 3 Cỏch 2: Sử dụng định lý Menelauyt: