Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Tỉnh Nghệ An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Tỉnh Nghệ An (Có đáp án)

1. GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11-NGHỆ AN NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu1. sinx cosx sin2x 3 sin2x cos2x +1 0 a. Cho phương trình 2sinx 2 . Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 2018 ;2019 ? b.Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx . x Câu2. 1 2 3 a. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ 5 và thứ 15 0 2 2 2 4 2 2n 2 1 23 của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: C2n 1 C2n 1 C2n 1 . C2n 1 C46 2 b. Cho lưới ô vuông như hình vẽ, có một con kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B bằng cách di chuyển trên cạnh để đi qua các điểm nút của lưới (điểm nút là đỉnh của các hình vuông nhỏ), mỗi bước nó di chuyển xuống dưới hoặc di chuyển sang phải để đến điểm nút gần nhất. Biết rằng nếu đến điểm C thì kiến sẽ bị ăn thị. Gỉa sử kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên và nó không biết tại C sẽ gặp nguy hiểm. Tính xác suất để kiến đến được điểm B. Câu3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a, AD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC . Biết rằng SA SB SC SD và góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD là 60 . a. Tính diện tích tam giác SBM theo a . b. Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD . u1 1 2 2 2 2 Câu 4 a. Cho dãy số u thỏa mãn 2un . Đặt S u u u .... u . n u ,n 1,n ¥ n 1 2 3 n n 1 5un 1 1 Chứng minh dãy Sn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. b. Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P sin A sin B 4 12 sin C . ------------Hết---------- HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
2. huunv92@gmail.com; Câu1. (5.0 điểm) sinx cosx sin2x 3 sin2x cos2x +1 0 a. Cho phương trình 2sinx 2 . Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 2018 ;2019 ? b. Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx . x Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Hữu ; Fb: Nguyễn Văn Hữu sinx cosx sin2x 3 sin2x cos2x +1 0 1a a. Xét phương trình: 2sinx 2 . x k2 2 4 Điều kiện: 2sinx 2 0 sin x (k,l ¢ ) . 2 3 x l2 4 Khi đó 1a trở thành: (sin x cos x)(sin 2x 3) sin 2x cos 2x 1 0 (sin x cos x)(sin 2x 3) 2sin x cos x 2sin2 x 0 (sin x cos x)(sin 2x 3) 2sin x(sin x cos x) 0 (sin x cos x)(sin 2x 2sin x 3) 0 sin x cos x 0 2a . sin 2x 2sin x 3 0 3a ▪ Phương trình 2a sin x 0 x k . Dựa vào điều kiện đầu bài ta 4 4 5 được: x k2 (k ¢ ) . 4 ▪ Phương trình 3a sin 2x 2sin x 3. Vì 1 sin2x 1 và 2 sinx 2 nên 3 sin 2x 2sin x 3. Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi 2x k2 x k sin 2x 1 2 4 sin 2x 2sin x 3 x  . sin x 1 x l2 x l2 2 2 5 Vậy x k2 (k ¢ ) . 4 5 5 Mà x ( 2018 ;2019 ) 2018 k2 2019 2018 2k 2019 . 4 4 Do k ¢ nên k 1009, 1008,,1008 suy ra ta có 2018 nghiệm.
3. lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx b. Tính x . ▪ Nếu m 3 thì lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 3x x lim 3 x3 2x2 1 x 4x2 2x 3 2x x 3 2 3 3 2 3 2 2 x 2x 1 x 4x 2x 3 2x lim x 2 2 3 x3 2x2 1 x  3 x3 2x2 1 x2 4x 2x 3 2x x3 2x2 1 x3 4x2 2x 3 4x2 lim 2 x 3 3 2 3 3 2 2 2 3 x 2x 1 x  x 2x 1 x x  4 2 2x x x x2 2 1 3 2 x 2 lim x x x 2 2 2 3 x 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 1 x 4 2 2 x 3 x 3 x x x x 2 1 3 2 7 . 6 ▪ Nếu m 3 thì lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx x lim 3 x3 2x2 1 x 4x2 2x 3 2x (m 3)x x . ▪ Nếu m 3 thì lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx x lim 3 x3 2x2 1 x 4x2 2x 3 2x (m 3)x x . Conghanh.tn.1995@gmail.com Câu2. 1 2 3 a. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ 5 và thứ 15 của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: 0 2 2 2 4 2 2n 2 1 23 C2n 1 C2n 1 C2n 1 . C2n 1 C46 2
4. b. Cho lưới ô vuông như hình vẽ, có một con kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B bằng cách di chuyển trên cạnh để đi qua các điểm nút của lưới (điểm nút là đỉnh của các hình vuông nhỏ), mỗi bước nó di chuyển xuống dưới hoặc di chuyển sang phải để đến điểm nút gần nhất. Biết rằng nếu đến điểm C thì kiến sẽ bị ăn thị. Gỉa sử kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên và nó không biết tại C sẽ gặp nguy hiểm. Tính xác suất để kiến đến được điểm B. Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Hạnh, Fb: Nguyễn Công Hạnh C 2 C1 C3 C1 a. Theo giả thiết ta có C 2 C1 4d ; C3 C1 14d n n n n n n n n 4 14 2 1 3 1 3 2 1 n(n 1)(n 2) n(n 1) 7 Cn Cn 2 Cn Cn 2Cn 7Cn 5Cn 0 2 7 5n 0 6 2 n 11 2 2n 27n 55 0 5 . n (L) 2 Với n 11, thử lại thỏa mãn cấp số cộng. 0 2 2 2 4 2 22 2 1 23 Ta cần chứng minh C23 C23 C23 ... C23 C46 . 2 0 2 2 2 4 2 n 1 2 1 n Ta sẽ chứng minh tổng quát Cn Cn Cn ... Cn C2n với n lẻ. 2 2n n n 0 1 n n 0 n 1 n 1 n Xét khai triển (1 x) (1 x) (x 1) Cn Cn x  Cn x Cn x Cn x  Cn . n 0 2 1 2 2 2 3 2 n 2 n Đồng nhất hệ số của x của đẳng thức trên ta có Cn Cn Cn Cn  Cn C2n (1) n 1 n 1 0 n 1 n 1 2 2 Do n lẻ và Cn Cn ;Cn Cn ;...;Cn Cn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Nên C 0 C1 C 2 C3  C n 2 C 0 C 2 C 4 . C n 1 . n n n n n n n n n 0 2 2 2 4 2 n 1 2 1 n Thay vào (1) ta có Cn Cn Cn . Cn C2n (đpcm). 2
5. b. Kiến muốn đi đến B thì bắt buộc phải qua D . Gọi m là số cách đi từ A đến D. Gọi n là số cách đi từ D đến B. Gọi k là số cách đi từ D đến B mà không đi qua C Ta có số cách đi từ A đến B là m.n ; số cách đi từ A đến B mà không đi qua C là mk . mk k Ta có xác suất mà kiến đi được đến B là p mn n Các cách đi từ D đến B mà có đi qua C là : DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy ra số cách đi từ D đến B mà có đi qua C là 3. Vì tính đối xứng của lưới ô vuông 2x2 nên số cách đi từ D đến B mà không qua C là 3. k 1 Suy ra k 3,n 6 . Do đó p . n 2 Tientuan194@gmail.com Câu3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a, AD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC . Biết rằng SA SB SC SD và góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD là 60 . a. Tính diện tích tam giác SBM theo a . b. Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD . Lời giải Tác giả: Đỗ Tiến Tuấn ; Fb: Đỗ Tiến Tuấn. a. Vì SA SC nên SO  AC . Vì SB SD nên SO  BD . Do đó SO  ABCD . Trong tam giác SAC, MH  AC H AC MH // SO MH  ABCD . Theo giả thiết M· NH 60 .
6. 3 a Kẻ HQ//AB . Ta có HQ a;QN 4 2 2 2 2 2 2 2 3a a 13a a 13 NH HQ QN . Suy ra NH . 4 2 16 4 a 39 a 39 Do đó MH NH tan 60 suy ra SO 2MH . 4 2 1 1 39a2 a 43 Ta có S S SK.AB;SK SO2 KO2 a2 SMB 2 SAB 4 4 2 1 a2 43 Suy ra S SK.AB SMB 4 8 b. Gọi P là trung điểm của SD , ta có tứ giác MPCN là hình bình hành suy ra MN //CP . Gọi là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD , ta thấy bằng góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng SBD .` Kẻ CI  BD CI  SBD C· PI . Tam giác BCD vuông tạiC có CI là đường cao, suy ra 1 1 1 1 1 5 2a CI . CI 2 CB2 CD2 4a2 a2 4a2 5 a 13 Ta có CP MN 2NH . 2
7. CI 4 sin . CP 65 dangngocsangthd@gmail.com u1 1 Câu 4a. Cho dãy số u thỏa mãn 2un . Đặt n u ,n 1,n ¥ n 1 5un 1 1 2 2 2 2 Sn u1 u2 u3 .... un . Chứng minh dãy Sn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh đượcun 0,n ¥ 2 5un 1 1 2un Ta có: un 1 5un 1 2 2 5un 1 5un 1 1 5 4 25u2 20u 4 20u 4 u2 u u n 1 n 1 n n 1 5 n n 1 4 9 4 Do đó: S u 2 u 2 u 2 .... u 2 u 2 u u u . n 1 2 3 n 1 5 1 n 5 5 n Chứng minh un là dãy giảm. 2 6 1 Thật vậy: u u . Giả sử u u . Ta sẽ chứng minh u u 2 5 1 k k 1 k 1 k 2 2 5uk 1 1 2 5uk 1 1 1 u và u u u . k 1 5 k 2 5 k 1 k 2 Vì un là dãy giảm mà un 0,n ¥ nên tồn tại limun l (l 0 và l hữu hạn). Do đó dãy Sn có giới hạn hữu hạn. Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức 5un 1 2 2 5un 1 ta có: 5l 2 2 5l 1 l 0 . 9 Vậy lim S . n 5 b. Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P sin A sin B 4 12 sin C . Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Ta có: 2 A B A B C A B C sin A sin B 2 sin A sin B 4sin cos 4cos cos 4cos 2 2 2 2 2 C C 3 C 3 sin A sin B 2 cos 4 P 2 cos 2 sin C 2 2 cos sin C 2 2 4 2 2 Ta lại có:
8. 2 2 C 3 2 C 3 2 3 2 8 3 1 8 cos sin C 2 cos sin C 1 cosC 1 cos C cosC 2 2 2 4 2 3 2 3 3 C 3 2 6 2 cos sin C 2 P 2 4 2 4 2 2 3 3 3 A B 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 2 4 . Dấu " " xảy ra khi: 1 3 C arccos 3 ---------Hết--------