Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Nho Quan (Có đáp án)

1. THPT NHO QUAN A NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ THI HSG KHỐI 11 MÔN: TOÁN (Đề gồm 06 trang) Thời gian: 180 phút Họ và tên: ........................................................SBD: ...................................... I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (14 ĐIỂM) mx3 mx2 Câu 1. Cho hàm số f x 3 m x 2 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số 3 2 m để f x 0 với mọi x . 12 12 12 12 A. 0; . B. 0; . C. 0; . D. 0; . 5 5 5 5 Câu 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được các số có bốn chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số đó có chữ số 4. 3 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3 Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N , P thứ tự là trung điểm của AC , CB , BD . Gọi d là giao tuyến của MNP và ABD . Kết luận nào sau đây đúng? A. d / / AC . B. d  (ABC) . C. d / /BC . D. d / /(ABC) . Câu 4. Tìm giá trị thực của tham số m 0 để hàm số y mx2 2mx 3m 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 10 trên ¡ . A. m 2 . B. m 2 . C. m 1. D. m 1. 2 2 Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3Ax A2x 42 0? A. 2. B. 0. C. 7. D. 5 . Câu 6. Trên đoạn [- 2018; 2018] phương trình sin x(2cos x - 3)= 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm ? A. 3856. B. 1286 . C. 2571. D. 1928. 2sin 2x cos 2x Câu 7. Trong tập giá trị của hàm số y có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2x cos 2x 3 A. 1. B. 3 . C. 2. D. 4. Câu 8. Cho hàm số y ax2 bx c có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng? y x O ` A. a 0, b 0, c 0 . B. a 0, b 0, c 0 . C. a 0, b 0, c 0 . D. a 0, b 0, c 0 . Câu 9. Xét hàm số y tan x trên khoảng ; . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2
2. A. Trên khoảng ;0 hàm số đồng biến và trên khoảng 0; hàm số nghịch biến. 2 2 B. Trên khoảng ; hàm số luôn đồng biến. 2 2 C. Trên khoảng ; hàm số luôn nghịch biến. 2 2 D. Trên khoảng ;0 hàm số nghịch biến và trên khoảng 0; hàm số đồng biến. 2 2 ax b Câu 10. Cho hàm số y có đồ thị cắt trục tung tại A 0; 1 , tiếp tuyến tại A có hệ số góc x 1 k 3 . Các giá trị của a;b là A. a 2;b 1. B. a 1;b 2 . C. a 1;b 1. D. a 2;b 2 . Câu 11. Số đường thẳng đi qua điểm M 5;6 và tiếp xúc với đường tròn C : (x 1)2 (y 2)2 1 là A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3 . u4 u2 54 Câu 12. Cho cấp số nhân un biết . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân u5 u3 108 trên. A. u1 9 ; q 2 . B. u1 9 ; q 2 . C. u1 9 ; q 2 . D. u1 9 ; q 2 . 3n 1 n 1 .22n Câu 13. Giá trị của lim là 5 4 n 1 1 A. . B. . C. 4. D. 0 . 4 Câu 14. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Tính khoảng từ điểm B đến mặt phẳng AB C . a 2 a 3 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3  Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C , có M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Vectơ A M    được biểu thị qua các vectơ AB, AC, AA như sau      1  1  1  A. A M AB AC AA .B. A M AB AC AA . 2 2 2  1  1    1  1   C. A M AB AC AA .D. A M AB AC AA . 2 2 2 2 Câu 16. Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho? A. 2.B. 4.C. 6.D. 3 . Câu 17. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ABC có số đo bằng 60 . Cạnh bên của hình lăng trụ bằng A. a 3 . B. 2a . C. a 2 . D. 3a .
3. 3 2x 1 1 Câu 18. Tìm giới hạn sau A lim . x 1 1 2 x2 3 2 A. 1. B. . C. 2. D. . 2 3 Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng AC và BA là: A. 450 . B. 600 . C. 300 . D. 1200 . cos x 1 Câu 20. Hàm số y có tập xác định D là: 4 cos x A. D R . B. D  . C. D R \ k ,k ¢. D. D k2 ,k ¢. Câu 21. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng P , trong đó a  P . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. Nếu b  P thì a // b . B. Nếu b // a thì b  P . C. Nếu a  b thì b// P . D. Nếu b  P thì a b . Câu 22. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x thỏa mãn f 2 1 2x x f 3 1 x tại điểm có hoành độ x 1? 1 6 1 6 1 6 1 6 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 7 Câu 23. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Xác suất đề chọn được hai viên bi cùng màu là 1 1 1 5 A. . B. . C. . D. . 12 6 36 18 Câu 24. Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a (tham khảo hình bên dưới). Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C là a 2 a 2 A. . B. a 2 . C. . D. a. 4 2 2 Câu 25. Với giá trị nào của m thì phương trình m 5 x 2 m 1 x m 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa x1 2 x2 ? 8 8 8 A. m 5 . B. m . C. m 5 . D. m 5 . 3 3 3
4. Câu 26. Cho tam giác ABC có A 0;1 , trọng tâm G 1; 1 , đường cao AH : 2x y 1 0 , khi đó đường thẳng BC có phương trình: A. 2x y 3 0 . B. x 2y 2 0 . C. 2x 4y 11 0 . D. x 2y 4 0 . Câu 27. Với giá trị nào của m thì phương trình 3sin2 x 2cos2 x m 2 có nghiệm? A. m 0 . B. m 0 . C. 0 m 1. D. 1 m 0 . Câu 28. Cho hàm số f x x x 1 x 2 ... x 2018 . Tính f 0 . A. f 0 2018!. B. f 0 2018!. C. f 0 0 . D. f 0 2018. Câu 29. Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos5x 2sin 7x trên khoảng 0; là 2 A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. 15 2 15 Câu 30. Cho khai triển 3x 2 a0 a1x a2 x ... a15 x . Hệ số lớn nhất trong khai triển đó là A. a15 . B. a12 C. a9 . D. a8 . Câu 31. Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt là một số chia hết cho 3 là 2 11 13 1 A. . B. . C. . D. . 3 36 36 3 x2 x 1 khi x 1 Câu 32. Cho hàm số f x với a là tham số. Khi hàm số liên tục tại x 1 thì giá ax 2 khi x 1 trị của a bằng A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 1. Câu 33. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB và AC bằng: a a 3 a a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2   Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại B , BC a 3 . Tính AC.CB . a2 3 a2 3 A. . B. 3a2 . C. . D. 3a2 . 2 2 Câu 35. Một chất điểm chuyển động có phương trình s t t3 3t 2 9t 2 , t 0 , t tính bằng giây và s t tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật nhỏ nhất? A. 3 giây. B. 1giây. C. 2giây. D. 6 giây. x2 Câu 36. Cho hàm số y . Tính y 100 0 . 1 x A. y 100 0 100!. B. y 100 0 99!. C. y 100 0 100!. D. y 100 0 99!. x 1 t Câu 37. Xác định a để hai đường thẳng d1 : ax 3y 4 0 và d2 : cắt nhau tại một điểm y 3 3t nằm trên trục hoành. A. a 1 . B. a 1 . C. a 2 . D. a 2 .
5. Câu 38. Từ các chữ số 1, 2, 3 , 4, 5 , 6 lập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó. A. 120. B. 42000. C. 2331. D. 46620. Câu 39. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 4. Điểm M là trung điểm của đoạn BC , điểm E nằm trên đoạn BM , E không trùng với B và M . Mặt phẳng (P) qua E và song 4 2 song với mặt phẳng (AMD) . Diện tích thiết diện của (P) với tứ diện ABCD bằng . Độ 9 dài đoạn BE bằng 1 4 2 A. . B. . C. 1. D. . 6 3 3 Câu 40. Cho hình chóp đều S.ABCD . Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng SCD . Thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho là: A. Hình thang vuông. B. Hình bình hành. C. Tam giác cân. D. Hình thang cân. Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ·ABC 60 . Mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho MC 2MS . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAB bằng: a a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 3 5 3 Câu 42. Biết rằng phương trình x x 3x 1 0 có duy nhất một nghiệm x0 , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. x0 1;2 . B. x0 0;1 . C. x0 1;0 . D. x0 2; 1 . Câu 43. Cho tứ diện ABCD có AB 6 , CD 8 . Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB , CD sao cho thiết diện đó là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng 24 18 31 15 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 44. Cho hàm số y f (x) 1 cos2 2x . Chọn kết quả đúng. sin 4x sin 2x A. df (x) dx . B. df (x) dx . 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x sin 4x cos 2x C. df (x) dx . D. df (x) dx . 1 cos2 2x 1 cos2 2x 2x 1 Câu 45. Cho hàm số y có đồ thị C . Số tiếp tuyến của đồ thị C song song với đường x 1 thẳng : y x 1 là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2. u2 u3 u5 10 Câu 46. Cho cấp số cộng un với . Số hạng đầu và công sai lần lượt là u3 u4 17 A. u1 3 ; d 1 . B. u1 3 ; d 2 . C. u1 2 ; d 3. D. u1 1; d 3 .
6. 5x 3 Câu 47. Giá trị của lim bằng x 2 x 2 A. 13. B. . C. 5. D. . Câu 48. Bất phương trình x2 4 x 3 có nghiệm 13 13 A. x 3 . B. x . C. 3 x 2. D. 3 x . 6 6 1 2 3 Câu 49. Biết các số Cn ,Cn ,Cn theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n 3. Tìm n . A. n 5. B. n 7 . C. n 9 . D. n 11. cos x Câu 50. Cho hàm số y = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x A. 2y¢+ xy¢¢= - xy . B. 2y¢+ xy¢¢= xy . C. y¢+ xy¢¢= - xy . D. y¢+ xy¢¢= xy . 1 2 3 ... n Câu 51. Cho dãy số u với u . Chọn mệnh đề đúng? n n n2 1 1 1 A. limu . B. limu . C. limu . D. limu 0 . n 2 n 4 n n Câu 52. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x2 2mx 2m 3 có tập xác định là ¡ ? A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc đáy. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB , SD . Gọi P là giao điểm của SC và AMN . Khi đó góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 4 2 f x 10 f x 10 Câu 54. Cho lim 5 . Giới hạn lim bằng x 1 x 1 x 1 x 1 4 f x 9 3 5 A. 10. B. . C. 1. D. 2. 3 10 2 1 Câu 55. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x 3 , x 0 . x 3 10 5 6 A. C10 . B. C10 . C. C10 . D. C10 . 4x2 7x 12 2 Câu 56. Cho biết lim . Giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây: x a x 17 3 A. 4; 1 . B. 7; 4 . C. 1;4 . D. 3;5 . II. PHẦN TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) 3 Câu 1. Giải phương trình cos2 2x cos2x 0 4 2 3 8 2 14 Câu 2. Cho khai triển 3x 2 2x 3 a0 a1x a2 x ... a14 x . Tìm a11
7. 2 2 x y 1 2 xy x y 1 Câu 3. Giải hệ phương trình x, y ¡ . 3 2 x 3y 5x 12 12 y 3 x 2 2 2 2 2 Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C1 : x y 13, đường tròn C2 : x 6 y 25 . a) Tìm giao điểm của hai đường tròn C1 và C2 . b) Gọi giao điểm có tung độ dương của C1 và C2 là A, viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt C1 và C2 theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA a và vuông góc với mặt phẳng ABCD . a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM x , K là hình chiếu của S trên DM . Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK . *********************** BẢNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C 8.A 9.B 10.A 11.C 12.C 13.A 14.C 15.C 16.B 17.A 18.D 19.B 20.D 21.C 22.D 23.D 24.A 25.D 26.C 27.C 28.A 29.C 30.C 31.D 32.D 33.D 34.D 35.B 36.A 37.D 38.D 39.D 40.D 41.C 42.B 43.A 44.C 45.C 46.D 47.B 48.B 49.B 50.A 51.A 52.B 53.D 54.C 55.D 56.C I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (14 ĐIỂM) mx3 mx2 Câu 1. Cho hàm số f x 3 m x 2 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số 3 2 m để f x 0 với mọi x . 12 12 12 12 A. 0; . B. 0; . C. 0; . D. 0; . 5 5 5 5 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy Chọn D mx3 mx2 Ta có f x 3 m x 2 . 3 2 Hàm số có tập xác định: D ¡ . f x mx2 mx 3 m . TH1: m 0 f x 3 0 (thỏa). TH2: m 0 a m 0 m 0 f x 0 , x mx2 mx 3 m 0, x 2 2 m 4m m 3 0 5m 12m 0
8. m 0 m 0 12 12 0 m . 5m 12 0 m 5 5 12 Vậy m 0; . 5 Câu 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được các số có bốn chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số đó có chữ số 4. 3 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy Chọn D 4 Số phần tử không gian mẫu là n  A6 360 . Gọi A là biến cố “số được chọn có chữ số 4”. 3 Ta có n A 4.A5 240 . n A 240 2 Vậy xác suất của biến cố A là P A . n  360 3 Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N , P thứ tự là trung điểm của AC , CB , BD . Gọi d là giao tuyến của MNP và ABD . Kết luận nào sau đây đúng? A. d / / AC . B. d  (ABC) . C. d / /BC . D. d / /(ABC) . Lời giải Tác giả: TRUONG SON; Fb:Truongson Chọn D
9. A Q M D P B N C Do ABD và MNP có điểm P chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AB , MN song song với nhau, nên giao tuyến d sẽ đi qua điểm P và song song AB . Mặt khác AB  ABC nên d / / ABC . Câu 4. Tìm giá trị thực của tham số m 0 để hàm số y mx2 2mx 3m 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 10 trên ¡ . A. m 2 . B. m 2 . C. m 1. D. m 1. Lời giải Tác giả: TRUONG SON; Fb:Truongson Chọn A Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10 trên ¡ a m 0 m 0 b2 4ac 16m2 8m m 2 . Vậy m 2 . 10 10 4a 4m 2 2 Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3Ax A2x 42 0? A. 2. B. 0. C. 7. D. 5 . Lời giải Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân Chọn D x 2 Điều kiện: . x ¥
10. 3.x! 2x ! Ta có: 3A2 A2 42 0 42 0 3x x 1 2x 2x 1 42 0 x 2x x 2 ! 2x 2 ! x 2 x 42 0 7 x 6 x 2;3;4;5;6. Vậy có 5 số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán. Câu 6. Trên đoạn [- 2018; 2018] phương trình sin x(2cos x - 3)= 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm ? A. 3856. B. 1286 . C. 2571. D. 1928. Lời giải Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân Chọn C x k sin x 0 Ta có: sin x(2cos x - 3)= 0 3 x k2 , k ¢ . cos x 6 2 x k2 6 k ¢ k ¢ + Với x k , k ¢ . Ta có 2018 2018 nên 2018 k 2018 k k 642; 641;...;0;...;641;642 . k ¢ + Với x k2 , k ¢ . Ta có nên 6 2018 k2 2018 6 k 321; 320;...;0;...;320;321. k ¢ + Với x k2 , k ¢ . Ta có nên 6 2018 k2 2018 6 k 321; 320;...;0;...;320;321. Vậy phương trình có 2571 nghiệm. 2sin 2x cos 2x Câu 7. Trong tập giá trị của hàm số y có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2x cos 2x 3 A. 1. B. 3 . C. 2. D. 4. Lời giải Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương Chọn C