Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1. (3 ®iÓm). Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). x21 10 x 2 Bµi 2. (6 ®iÓm). Cho biểu thức: A 2 :x 2 x 42 xx 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A, biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bµi 3. (5 điểm) a. Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. xyz abc x2y2z2 b. Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng: 1. abc xyz a2b2c2 Bµi 4. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5. Bài 5. (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a. Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b. Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c. Biết SAOB= 2012 (đơn vị diện tích); SCOD= 2013 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. L−u ý: ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông M¸y tÝnh cÇm tay. 1
2. PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA h−íng dÉn chÊm THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán Bµi 1: (3 ®iÓm) a. (1,5 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 0,5 ®iÓm) = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b. (1,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 0,5 ®iÓm) = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 1 a. Rút gọn được kq: A x 2 1,5 1 1 1 b. x x hoặc x Bµi 2 2 2 2 6 điểm 4 4 A hoặc A 3 5 1,5 c. A 0x 2 1,5 1 d. A Z Z x 1;3  1,5 x 2 Bài 3 (5 ®iÓm) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 a. (2,5) Do : (x 1)2 0;( y 3) 2 0;(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,5 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). abc ayz+bxz+cxy Từ : 0 0 xyzxyz 1 ayz + bxz + cxy = 0 xyzxyz Ta có : 1( )2 1 0,5 abcabc b. (2,5) x2y2z2 xyxz yz 2( ) 1 0,5 a2b2c2 ab ac bc x2y2z2 cxy bxz ayz 2 1 a2b2c2 abc 0,5 x2y2z2 1(dfcm ) a2b2c2 2
3. Bài 4 Biến đổi để có A= a 2 (a 2 )2 2a(a 2 )2 (a 2 )2 3 0,25đ = (a 2 2)(a 2 2a )1 3 (a 2 2)(a )1 2 3 0,25đ Vì a 2 2 0 a và (a )1 2 0a nên (a 2 2)(a )1 2 0a do đó 0,25đ (a 2 2)(a )1 2 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 0,25đ KL Bài 5 (5 điểm A B O M N C D OM OD ON OC a, (1,5 Lập luận để có , 0,5đ điểm) AB BD AB AC OD OC 0,5đ Lập luận để có DB AC OM ON 0,5đ OM = ON AB AB OM DM OM AM Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) 0,5đ b, (1,5 AB AD DC AD 1 1 AM DM AD điểm) Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 0,5đ Chứng minh tương tự ON.( ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 0,5đ từ đó có (OM + ON).( ) 2 AB CD AB CD MN c, (2 S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ , S AOB .S DOC S BOC .S AOD điểm) S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 0,5đ 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5đ 2 2 2 Thay sè ®Ó cã 2012 .2013 = (SAOD) Do đó S = 20122 + 2.2012.2013 + 20132 = (2012 + 2013)2 = 0,5đ ABCD 40252 (đơn vị DT) 3