Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian : 150 phút (không kể giao đề) 2 2 x 1 x 1 Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức P . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn P b) Tìm x ¢ để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P 1 Câu 2 (4,5 điểm) a) Giải phương trình : x3 6x2 x 30 0 x 1 2x 3 x b) Giải bất phương trình sau: x 1 1 3 2 3 x 2 x2 c) Cho biết . Hãy tìm giá trị của biểu thức Q x2 x 1 3 x4 x2 1 Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 b) Cho a, b, c ¢ thỏa mãn a b c 0.Chứng minh: a5 b5 c5 30 1 1 1 1 1 1 c) Chứng minh rằng a b c a b c , trong đó a, b, c b c a a b c là các số thực không nhỏ hơn 1. Câu 4. (4,5điểm) Cho tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H. Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH.BE CH.CF BC 2 BC 2 c) AD.HD 4 d) Gọi I, K, Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC. Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cùng nằm trên một đường thẳng. Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của các tia BA, CA lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho BD CE BC . Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh AB = CK .hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 8 HOẰNG HÓA
2. Câu 1. a) ĐKXĐ: x 0; x 1 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2x Ta có: P . .(x 1) . 2 . 3x x 1 3x x 1 x 1 3x 3x x 1 x 1 2x Vậy P x 1 2 b) Ta có P 2 ¢ x 1 U (2) 1; 2 x 1 Từ đó suy ra x 2;0;3; 1 , kết hợp với điều kiện được x 2;3 2x 2x x 1 c) P 1 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 Mà x 1 x 1nên x 1 0 và x x 1 0 x 1và x 1 Kết hợp với ĐKXĐ được 1 x 1 và x 0 Câu 2. x 3 3 2 a) Ta có : x 6x x 30 0 x 3 x 2 x 5 0 x 2 x 5 Vậy S 2;3;5 x 1 2x 3 x 7 x 1 1 6x 6 2x 2 6x 9 2x 6 4x 7 x b) 3 2 3 4 7  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S x / x  4  x 2 x2 x 1 3 c) Từ x 0, do đó x2 x 1 3 x 2 2 1 3 1 5 1 25 21 x 1 x x 1 1 x 2 x 2 x 4 4 4 2 2 x x 1 2 1 1 21 Lại có : 2 x 2 1 x 1 x x x 4 x2 4 Suy ra Q x4 x2 1 21 Câu 3.
3. a)5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 25x2 25y2 40xy 10y 10x 10 0 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Do 5x 4y 1 2 0 và 9 y 1 2 0 với mọi x, y Nên 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Suy ra x 1; y 1 b) Ta có: a5 a a. a2 1 . a2 1 a. a2 1 . a2 4 5 a 2 a 1 a. a 1 . a 2 5 a 1 a. a 1 Do a 2 a 1 a. a 1 . a 2 là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 3 và 5, do đó chia hết cho 30. Lại có a 1 a. a 1 chia hết cho 6 nên 5 a 1 a a 1 chia hết cho 30. 5 Từ đó suy ra a a chia hết cho 30 5 5 Tương tự b b chia hết cho 30 và c c chia hết cho 30 5 5 5 5 5 5 Từ đó suy ra a b c a b c a a b b c c chia hết cho 30 5 5 5 Mà a b c 0 nên a b c chia hết cho 30 1 1 1 1 1 1 c) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2b2c2 abc a b c ab bc ca a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 a b 2 b c 2 c a 2 2 2 2 2 2 2 a c . b 1 b a . c 1 c b . a 1 0 (đúng với mọi a,b,c 1)
4. Câu 4. A E F H B D C AE AB AEB : AFC (g.g) a) Ta có: AF AC Từ đó suy ra AEF : ABC (c.g.c) BD BH BDH : BEC (g.g) BH.BE BC.BD (1) b) BE BC CD CH CDH : CFB (g.g) CH.CF BC.CD (2) CF BC 2 Từ (1) và (2) suy ra BH.BE CH.CF BC.BD BC.CD BC DH DB DBH : DAC (g.g) DH.DA DC.DB c) Chứng minh được DC DA 2 DC DB BC 2 BC 2 DC.DB AD.HD Lại có 4 4 Do đó: 4
5. d) A I E K F H Q C B D R Từ giả thiết suy ra EI / /CF, EK / /BC, EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Ta let ta có: AI AE AK * IK / /DF (3) AF AC AD BF BH BD * IR / /DF (4) BI BE BR CR CE CQ * RQ / /DF (5) CD CA CF Từ (3) (4) và (5) suy ra bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng
6. Câu 5. A 1 C B 1 O 1 M E D Vẽ hình bình hành ABMC AB CM (1) 1 1 Bµ Cµ C· BM C· BM Ta có : 1 2 1 2 nên BO là tia phân giác của · Tương tự CO là tia phân giác của BCM · Do đó MO là tia phân giác của BMC Suy ra OM song song với tia phân giác của góc A, suy ra K, O, M thẳng hàng
7. 1 1 M¶ B· MC B· AC K¶ Ta có : 1 2 2 1 nên tam giác KMC cân tại C CK CM (2) Từ (1) và (2) suy ra CK AB