Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Ngũ Hành Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Ngũ Hành Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Bài 1. (2,0 điểm) 2 2 Câu 1. Cho x2 y2 2và M x2 1 y2 1 2x2 y2 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến số x, y Câu 2. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức n3 2n2 2n 4 là số nguyên tố Bài 2. (2,0 điểm) x 1 1 3x x2 1 x2 2x 1 Cho A 2 3 : 3x x 1 x 1 1 x x 1 Câu 1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A 2 Câu 2. Tìm các giá trị thực của x để Avà có giá trị là số nguyên. A Bài 3. (2,5 điểm) 21 Câu 1. Giải phương trình: x2 4x 6 0 x2 4x 10 Câu 2. Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi” Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ? Bài 4. (1,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB 2BC, đường phân giác các góc C và D cắt nhau tại M. Chứng minh A,M ,B thẳng hàng Bài 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều. Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE và BE.Gọi O là trọng tâm của tam giác ADE. Câu 1. Chứng minh OMN : OEC Câu 2.Chứng minh ON vuông góc với NC.
2. ĐÁP ÁN Bài 1. Câu 1. 2 2 M x2 1 y2 1 2x2 y2 x4 2x2 1 y4 2y2 1 2x2 y2 x4 2x2 y2 y4 2 x2 y2 2 2 x2 y2 2 x2 y2 2 22 2.2 2 2 Câu 2. n3 2n2 2n 4 n2 2 n 2 Để giá trị của biểu thức là số nguyên tố thì n2 2 1(loại vì n2 2 2) Hoặc n 2 1. Ta tìm được n 3 Bài 2. Câu 1. Điều kiện xác định x 1 x 1 1 3x x2 1 x 1 1 3x x2 1 2 x3 1 1 x x2 x 1 2 1 x 3x x 1 x 1 x x 1 2 2 x 1 x 1 1 3x x x x 1 x2 2x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 1 3x x2 1 x2 2x 1 2 3 : 3x x 1 x 1 1 x x 1 x2 2x 1 x 1 1 . x 1 x2 x 1 x2 2x 1 x2 x 1
3. 1 2 Câu 2. A nguyên thì nguyên nghĩa là A U (2) x2 x 1 A 3 4 x2 x 1 ;0 A A 1 4 3 2 x 0(tm) Suy ra A 1 x x 1 1 x 1(ktm) Vậy x 0 Bài 3. Câu 1. Điều kiện xác định x ¡ , đặt t x2 4x 8 21 21 x2 4x 6 0 t 2 0 t 2 x2 4x 10 t 2 21 t 2 t 2 0 21 t 2 4 0 t 2 25 t 5 x2 4x 8 5 x2 4x 3 0 giải ra x 1; x 3 x2 4x 8 5 x2 4x 13 0 vô nghiệm vì x2 4x 13 0 Vậy x 1; x 3 Câu 2. Gọi x là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là 66( x nguyên dương) Ta có: x x 4 66 2x 62 x 31 Gọi y là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay ( y nguyên dương) Tổng số tuổi hiện nay của hai người là 66 2y Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là 10 2y
4. Ta có phương trình: 3 10 2y 66 2y 30 6y 66 2y y 9 Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là 9 31 40tuổi Tuổi của cha Bắc hiện nay là 9 35 44tuổi Bài 4. A N B M D P C Gọi N là trung điểm AB, P là trung điểm CD Chứng minh ANPD và NBCP là các hình thoi Suy ra N là giao điểm của phân giác các góc C và D Suy ra N trùng với M Vậy A,M ,B thẳng hàng
5. Bài 5. A O D E M N B C OM 1 OM 1 Câu 1. OA OE, OA 2 OE 2 MN 1 MN 1 BD EC; BD 2 EC 2 MN OM O· MN O· EC 1500 OMN : OEC c.g.c EC OE Câu 2. ON OC Từ OMN : OEC , ta có: O· NM O· CE;M· ON E· OC và OM OE M· ON E· OC N· OC M· OE ONC : OME c.g.c O· NC O· ME 900 Suy ra ON  NC