Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Trần Mai Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Trần Mai Ninh (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH MÔN: TOÁN Năm học: 2013-2014 Thời gian: 120 phút Bài 1. (4 điểm) a) Cho a b 7.Tính giá trị của biểu thức M a2 a 1 b2 b 1 3ab2 2ab 3a2b b) Cho x 0.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 P 3x 4x2 2014 4x Bài 2. (4 điểm) a) Giải phương trình: x 5 2013 x 6 2014 1 b) Chứng minh biểu thức Q x4 2014x2 2013x 2014 dương với mọi x Bài 3. (4 điểm) a) Tìm m để đa thức x3 y3 z3 mxyz chia hết cho đa thức x y z b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x4 y 4 y2 x2 Bài 4. (6 điểm) Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD tại O. Kẻ BH vuông góc với CD H CD a) Biết AB / /CD;BH 4cm;BD 5cm.Tính AC 1 1 b) Biết AB CD; AO AC,diện tích tam giác AOB bằng 4cm2.Tính diện 2 3 tích tứ giác ABCD. Bài 5. (2 điểm) Cho ABC có đường cao kẻ từ A,đường trung tuyến xuất phát từ B và đường phân giác kẻ từ đỉnh C đồng quy. Gọi a,b,clần lượt là độ dài ba cạnh BC; AC; AB.Chứng minh a b a2 b2 c2 2a2b
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) M a3 a2 b3 b2 3ab b a 2ab a b a2 ab b2 a2 b2 3ab 7 2ab 7 a2 ab b2 a2 b2 23ab 8 a b 2 8.72 392 2 1 b) Ta có: P 4x 4x 1 x 2015 4x 2 2 2x 1 2x 1 2014 4x P 2014 x 0 1 Max 2014 x P 2 Bài 2. a) Ta có x 5; x 6là nghiệm của phương trình *Với x 5 x 5 2013 0; x 6 2014 1 x 5 2013 x 6 2014 1 x 5không có giá trị nào của nghiệm phương trình *Với x 6 thì x 5 2013 1; x 6 2014 0 x 5 2013 x 6 2014 1 x 6 không có giá trị nào là nghiệm phương trình *Với 5 x 6 thì x 5 2013 x 5; x 6 2014 6 x x 5 2013 x 6 2014 1 Nên 5 x 6 không có giá trị nào của nghiệm phương trình Vậy S 5;6 b) Ta có: Q x4 x 2014 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2014 Chứng minh được x2 x 1 0x; x2 x 2014 0x Nên Q 0x
3. Bài 3. a) Ta có: A x3 y3 z3 3xyz mxyz 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx m 3 xyz A x y z m 3 0 m 3 Vậy với m 3thì thỏa đề. 2 2 4 2 2 2 1 1 b) Ta có: x y 4 y x x y 4 2 2 x2 y x2 y 1 4 Ta có y, z nguyên; x2 y x2 y 1 2x2 1là số lẻ nên x2 y và x2 y 1 có một số lẻ. Ta có bảng: x2 y 1 1 4 4 1 x2 y 4 1 1 4 y 3 3 2 2 x2 ` 2loại 1 2loại Vậy các giá trị x, y cần tìm là 1;3 ; 1;3 ; 1; 2 ; 1; 2
4. Bài 4. B A O E C D a) Kẻ BE / / AC(E DC), ta có ABEC là hình bình hành AC  BD(gt) BD  BE tại B và AC BE Ta có: HD2 BD2 BH 2 9 HD 3cm BHD : EBD(g.g) BH HD BH.HD 20 20 BHD : EBD(g.g) BE AC EB BD HD 3 3 1 1 b) Vì AB CD; AO AC 2 3 1 AB AO 1 AO OC ABO : CDO 2 CD CO 2 2 SABO AO 1 2 SDOC 4SABO 16cm SCDO CO 4 2 Vì OC 2OA SBOC 2SAOB 8cm 1 S S 8cm2 AOD 2 COD 2 S ABCD 36cm
5. Bài 5. A M I O C B H Gọi O là giao điểm của các đường cao AH, trung tuyến BM , phân giác CD. 1 Kẻ MI  AH MI HC 2 MI MO MC 2MI 2MC HC AC b aHC bHB HB BO BC BH BC HB BC a Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ta có: a2 BC 2 HB2 HC 2 2HB.HC b2 AH 2 HC 2 c2 AH 2 BH 2 a b a2 b2 c2 a b 2a.HC 2a a.HC b.HC 2a. bHB bHC 2a(ab) 2a2b Vậy ta có: a b a2 b2 c2 2a2b