Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Yên Mỗ (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Yên Mỗ (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016 HUYỆN YÊN MÔ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (ĐỀ CHÍNH THỨC) (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, x(x 2)(x2 2x 2) 1 b, x4 2016x2 2015x 2016 Câu 2 (3,5 điểm): a2016 b2016 c2016 a, Cho a +b +c 0 và a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính N = a b c 2016 b, Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 là một số chính phương Câu 3 (4,5 điểm): Giải các phương trình sau: a, x2 2 (2x 3)(x 5) 23 1 1 1 1 b, + + = x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Câu 4 (6,0 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2015 (đơn vị diện tích); SCOD= 2016 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Câu 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a 2 b 2 c 2 a b c + + b c c a a b 2 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN YÊN MÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Môn : Toán lớp 8 (Hướng dẫn chấm gồm 3 trang) Câu Tóm tắt đáp án Điểm a) x(x 2)(x2 2x 2) 1 (x2 2x)(x2 2x 2) 1 0,5 2 2 2 (x 2x) 2(x 2x) 1 0,5 = (x2 2x 1)2 0,5 Câu 1 4 (x 1) (4,0đ) 0,5 b) x4 2016x2 2015x 2016 = x4 x 2016(x2 x 1) 0,5 = x(x3 1) 2016(x2 x 1) = x(x 1)(x2 x 1) 2016(x2 x 1) 0,5 = (x2 x 1)x(x 1) 2016 0,5 0,5 = (x2 x 1)(x2 x 2016 a) a3 + b3 + c3 = 3abc a3 b3 c3 3abc 0 a3 b3 3ab(a b) c3 3ab(a b) 3abc 0 a b 3 c3 3ab(a b c) 0 (a b c)(a2 2ab b2 ac bc c2 ) 3ab(a b c) 0 0,5 (a b c)(a2 b2 c2 ab ac bc) 0 a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c 0) 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0 (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 0,5 Câu 2 Vì (a – b)2 0  a, b; (b – c)2 0  b,c; (c – a)2 0  a, c. (3,5đ) Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0  a, b,c ; Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0  a, b,c Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0 a = b = c 0,5 Mà a +b +c 0 a = b = c 0 (*) a2016 a2016 a2016 3a2016 3a2016 1 0,5 Thay (*) vào N ta có: N a a a 2016 3a 2016 (3a)2016 32015 b) Giả sử n2 4n 2013 m2 , m ¥ 2 2 2 2 0,5 Suy ra n 2 2009 m m n 2 2009 m n 2 m n 2 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường 0,5 hợp sau xảy ra:
3. m n 2 2009 m 1005 TH1: m n 2 1 n 1002 m n 2 287 m 147 0,5 TH2: m n 2 7 n 138 m n 2 49 m 45 TH3: m n 2 41 n 2 Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2 Câu 3 a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 (4,5đ) x2-25=(2x+3)(x+5) 0,5 (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 0,5 (x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 (x+5)(-x-8)=0 0,5 x-5=0 hoặc x+8 =0 0,5 x=-5 hoặc x=-8 b)Ph­¬ng tr×nh ®­îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: x 4; 5; 6; 7 ) 0,5 1 1 1 1 = (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 0,5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) + ( ) + ( ) = x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 0,5 1 1 1 0,5 = (x + 4)(x +7) = 54 x 4 x 7 18 (x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m·n §KX§) 0,5 VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: S = 13;2 A B O M N D C Câu 4 a)( 2,0 điểm) OM OD ON OC (6đ) Lập luận để có , 0,75 AB BD AB AC OD OC Lập luận để có 0,75 DB AC OM ON OM = ON 0,5 AB AB b)( 2,0 điểm) OM DM OM AM Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) AB AD DC AD 0,75 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD
4. 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 0,75 AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). ( ) 2 0,5 AB CD AB CD MN c)( 2,0 điểm) Từ ΔCBH : ΔEAH ( cmt) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 0,5 = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Chứng minh được S AOD S BOC 0,5 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 2 2 2 0,5 Thay số để có 2015 .2016 = (SAOD) SAOD = 2015.2016 Do đó S = 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312 ABCD 0,5 (đơn vị DT) a 2 b c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho cÆp sè , kh«ng ©m ta cã : b c 4 a 2 b c a 2 b c a + 2 . = 2 . = a 0,5 b c 4 b c 4 2 a 2 b c Suy ra a - b c 4 0,5 b 2 a c T­¬ng tù b - Câu 5 c a 4 (2đ) c 2 a b c - a b 4 Céng vÕ theo vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®­îc : 0,5 a 2 b 2 c 2 a b c a b c + + ( a + b + c ) - = b c c a a b 2 2 0,5 a 2 b 2 c 2 a b c VËy + + (®pcm) b c c a a b 2 Lưu ý: - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ ; 14,5đ; 16,75đ).