Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2017 Câu 1. (4 điểm) 2 2 x 1 x 1 Cho biểu thức P . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn P b) Tìm x ¢ để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P 1 Câu 2. (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x3 6x x 30 0 x 1 2x 3 x b) Giải bất phương trình sau: x 1 1 3 2 3 x 2 x2 c) Cho biết .Hãy tính giá trị của biểu thức: Q x2 x 1 3 x4 x2 1 Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 b) Cho a,b,c ¢ , thỏa mãn a b c 0.Chứng minh a5 b5 c5 30 1 1 1 1 1 1 c) Chứng minh rằng: a b c a b c , trong đó b c a a b c a,b,clà các số thực không nhỏ hơn 1. Câu 4. (4,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH.BE CH.CF BC 2 BC 2 c) AD.HD 4 d) Gọi I,K,Q,R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD , CF,BC . Chứng minh bốn điểm I,K,Q,R cùng nằm trên một đường thẳng. Câu 5. (2,0 điểm)Cho tam giác ABC.Trên tia đối của các tia BA,CAlấy theo thứ tự các điểm D,E sao cho BD CE BC.Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh AB CK
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) ĐKXĐ: x 0; x 1 Ta có: 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2x P . . x 1 . 2 . 3x x 1 3x x 1 x 1 3x 3x x 1 x 1 2x Vậy P x 1 2 b) Ta có: P 2 ¢ x 1 Ư 2 1; 2 x 1 Từ đó suy ra x 2;0;3; 1 Kết hợp với ĐKXĐ được x 2;3 2x 2x x 1 c) P 1 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 Mà x 1 x 1 nên x 1 0 và x 1 0 x 1và x 1 Kết hợp với ĐKXĐ được 1 x 1 và x 0 Câu 2. a) Ta có: x3 6x2 x 30 0 x 3 x 2 x 5 0 x 3 0 x 3 x 2 0 x 2 x 5 0 x 5 x 1 2x 3 x x 1 1 6x 6 2x 2 6x 9 2x 6 b) 3 2 3 7 4x 7 x 4 7 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x / x  4  x 2 x2 x 1 3 c) Từ x 0, do đó : x2 x 1 3 x 2 2 1 3 1 5 1 25 21 x 1 x x 1 1 x 2 x 2 x 4 4 4 2 x x 1 2 1 2 1 21 Lại có: 2 x 2 1 x 2 1 x x x 4
3. x2 4 Suy ra Q x4 x2 1 21 Câu 3. a) 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 25x2 25y2 40xy 10y 10x 10 0 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Do 5x 4y 1 2 0 và 9 y 1 2 0 với mọi x, y Nên 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Suy ra x 1; y 1 b) Ta có: a5 a a a2 1 a2 1 a a2 1 a2 4 5 a 2 a 1 a. a 1 a 2 5 a 1 .a. a 1 Do a 2 a 1 a a 1 a 2 là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2;3;5, do đó chia hết cho 30 Lại có a 1 a a 1 chia hết cho 6nên 5 a 1 a a 1 chia hết cho 30 Từ đó suy ra a5 a chia hết cho 30 Tương tự b5 bchia hết cho 30và c5 c chia hết cho 30. Từ đó suy ra a5 b5 c5 a b c a5 a b5 b c5 c chia hết cho 30 Mà a b c 0 nên a5 b5 c5 chía hết cho 30. 1 1 1 1 1 1 c) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2b2c2 abc a b c ab bc ca a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 a b 2 b c 2 c a 2 a c 2 b2 1 b a 2 c2 1 c b 2 a2 1 0 (đúng với mọi a,b,c 1)
4. Câu 4. A I K E F Q B D R C AE AB a) Ta có: AEB : AFC(g.g) AF AC Từ đó suy ra AEF : ABC c.g.c BD BH b) BDH : BEC(g.g) BH.BE BC.BD (1) BE BC CD CH CDH : CFB(g.g) CH.CF BC.CD (2) CF BC Từ (1) và (2) suy ra BH.BE CH.CF BC.BD BC.CD BC 2 DH DB c) Chứng minh được DBH : DAC(g.g) DH.DA DC.DB DC DA 2 DC DB BC 2 Lại có: DC.DB 4 4
5. BC 2 Do đó: AD.HD 4 d) Từ giả thiết suy ra EI / /CF,EK / /BC,EQ / / AB,ER / / AD Áp dụng định lý Talet ta có: AI AE AK * IK / /DF (3) AF AC AD BF BH BD * IR / /DF (4) BI BE BR CR CE CQ * RQ / /DF (5) CD CA CF Từ 3 ; 4 ; 5 suy ra bốn điểm I,K,Q,R thẳng hàng Câu 5. A K 1 B 1 C 1 O 1 M E D Vẽ hình bình hành ABMC AB CM 1 1 1 Ta có: Bµ Cµ C· MB nên BO là tia phân giác của C· BM 1 2 1 2 Tương tự CO là tia phân giác của B· CM Do đó MO là tia phân giác của B· MC Suy ra OM song song với tia phân giác của µA, suy ra K,O,M thẳng hàng
6. 1 1 Ta có: M¶ B· MC B· AC K¶ 1 2 2 1 Nên tam giác KMC cân tại C CK CM (2) Từ (1) và (2) suy ra CK AB